Question

一單擺在地面處的擺動(dòng)周期與在某礦井底部擺動(dòng)周期的比值為k．設(shè)地球的半徑為R．假定地球的密度均勻．已知質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，求礦井的深度d．

Answer 1

分析：利用單擺周期公式和萬有引力近似等于其重力，礦井內(nèi)單擺受到的萬有引力可以看作是半徑為（R-d）的球體施加的，即可聯(lián)立求解．

解答：解：在地面處，單擺所受萬有引力近似等于其重力，即mg=G

Mm

R

，
單擺的在地面的擺動(dòng)周期T=2π

L g

設(shè)地球密度為ρ，地球的體積M=ρ

4

3

πR3
綜合以上四得得：T=π

3L GρπR

質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，礦井內(nèi)單擺受到的萬有引力可以看作是半徑為（R-d）的球體施加的，同理單擺的擺動(dòng)周期T′=π

3L Gρπ(R-d)

而單擺在地面處的擺動(dòng)周期與礦井底部擺動(dòng)周期之比

T

T′

=K
解得：d=R（1-K²）
答；礦井的深度為R（1-K²）

點(diǎn)評：本題考查萬有引力定律的應(yīng)用及單擺的周期公式，意在考查對基本物理規(guī)律的分析計(jì)算能力．