Question

如圖所示，斜槽軌道一端與一個(gè)半徑為0.4m的圓形軌道相連．一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的物體，從高為H=2m的A點(diǎn)，由靜止滑下，已知軌道光滑，求：
（1）小球通過B點(diǎn)時(shí)的速度及對軌道的壓力；
（2）小球通過C點(diǎn)時(shí)速度為多大，對軌道的壓力為多大；
（3）若使小球做圓周運(yùn)動恰能通過C點(diǎn)，則H應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

分析：（1）小球從光滑的軌道上滑下過程，機(jī)械能守恒，即可由機(jī)械能守恒定律求出小球通過B點(diǎn)時(shí)的速度；小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的支持力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律及第三定律結(jié)合求解小球?qū)︓壍赖膲毫Γ?br />（2）運(yùn)用同樣的方法求解小球通過C點(diǎn)時(shí)速度及對軌道的壓力．
（3）要使小球能夠通過圓軌道最高點(diǎn)，那么小球在最高點(diǎn)時(shí)應(yīng)該是恰好是物體的重力作為物體的向心力，由向心力的公式可以求得此時(shí)的最小的速度，再由機(jī)械能守恒可以求得離地面的高度H．

解答：解：（1）小球從A到B的過程中，由機(jī)械能守恒定律得：
mgH=

1

2

m

v

2 B

…①
得：v_B=

2gH

=

2×10×2

=2

10

m/s
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：N_B-mg=m

v 2 B

R

…②
由①②聯(lián)立得：N_B=mg+mg

2H

R

=0.1×10（1+

2×2

0.4

）N=11N
則根據(jù)牛頓第三定律得小球?qū)︓壍赖膲毫椋篘_B′=N_B=11N，方向豎直向下．
（2）小球從A到C的過程中，由機(jī)械能守恒定律得：
mg（H-2R）=

1

2

m

v

2 C

…③
得：v_C=

2g(H-2R)

=

2×10×(2-2×0.4)

=2

6

m/s
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：N_C+mg=m

v 2 C

R

由①②聯(lián)立得：N_C=mg

2H

R

-5mg=0.1×10（

2×2

0.4

-5）N=5N
則根據(jù)牛頓第三定律得：小球?qū)︓壍赖膲毫镹_C′=N_C=5N，方向豎直向上．
（3）小鋼球恰能通過最高點(diǎn)時(shí)，軌道對小鋼球的支持力為：N_C=0
最高點(diǎn)時(shí)，重力提供向心力，由牛頓第二定律得：mg=

v2

R

小球在運(yùn)動過程中由機(jī)械能守恒定律得：mgH′=mg×2R+

1

2

mv²…②
由①②解得：H′=2.5R=2.5×0.4m=1m
答：（1）小球通過B點(diǎn)時(shí)的速度是2

10

m/s，對軌道的壓力為11N，方向豎直向下；
（2）小球通過C點(diǎn)時(shí)速度為2

6

/s，對軌道的壓力為5N，方向豎直向上；
（3）若使小球做圓周運(yùn)動恰能通過C點(diǎn)，則H應(yīng)等于1m．

點(diǎn)評：本題屬于圓周運(yùn)動中繩子的模型，在最高點(diǎn)時(shí)的臨界條件是重力恰好做為圓周運(yùn)動的向心力，運(yùn)用機(jī)械能守恒和牛頓運(yùn)動定律結(jié)合進(jìn)行研究．