Question

7．如圖所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在xoy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強電場，在圓心為C半徑為R的圓內(nèi)還有與xoy平面垂直的勻強磁場．在原點O放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它發(fā)射出質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）和初速度大小為v的同種帶電微粒，速度方向分布在xoy平面第一和第二象限內(nèi)的各個方向上．已知從O點沿y軸正方向發(fā)射的帶電微粒射出磁場區(qū)域后平行于x軸運動．在x軸上有一與y軸平行的熒光屏．重力加速度為g．
（1）求電場強度E和磁場強度B的大小和方向．
（2）求微粒打在熒光屏上形成的光斑長度．
（3）若撤除勻強磁場，且保持勻強電場的大小不變，方向改為水平向右．調(diào)節(jié)初速度v的大小，使得從O點沿與x軸正方向成45°方向發(fā)射的微粒落到圓周上D點（圖中沒有畫出）時的速度比沿其他方向發(fā)射的微粒落到圓周上個點的速度都要大．求初速度v的大小．微粒落到D點時，另外一微粒同時落到圓周上的B點，求BD兩點間的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)帶電微粒所受重力與電場力平衡求出電場強度的大小與方向；由幾何關系確定粒子做圓周運動的半徑，然后根據(jù)半徑公式求出磁感應強度；
（2）為使這些帶電微粒經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后沿x軸負方向運動．由圖可知，它們必須從經(jīng)O點作圓運動的各圓的最高點飛離磁場，結(jié)合數(shù)學知識求出符合條件的磁場區(qū)域的圓方程，最后求出PN屏上光斑長度．
（3）沒有磁場時，粒子在豎直方向做勻減速運動，水平方向做勻變速運動，可以先求出合力，然后使用拋體運動的規(guī)律解答．

解答 解：（1）由題目中“從O點沿y軸正方向豎直向上發(fā)射的帶電微粒射出磁場區(qū)域后一直平行于x軸作直線運動打到PN熒光屏上”可知，帶電微粒所受重力與電場力平衡．設電場強度大小為E，由平衡條件得：
mg=qE
得E=$\frac{mg}{q}$
電場方向沿y軸正方向
帶電微粒進入磁場后，做勻速圓周運動，由于微粒射出磁場區(qū)域后一直平行于x軸作直線運動，所以圓運動半徑r=R．
設勻強磁場的磁感應強度大小為B．由牛頓第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$
由左手定則可知，磁場方向垂直于紙面向里
（2）設由帶電微粒發(fā)射裝置射入第Ⅰ象限的帶電微粒的初速度方向與x軸承夾角θ，θ滿足0＜θ＜π，由于帶電微粒最終將沿x軸負方向運動，
故B應垂直于xoy平面向里，帶電微粒在磁場內(nèi)做半徑為$\frac{m{v}_{0}}{qB}$勻速圓周運動．
由于帶電微粒的入射方向不同，由于磁場的范圍在題目的要求內(nèi)，則它們所對應的運動的軌跡如圖所示

所以PN屏上光斑的范圍是0-2R，長度是2R．
（3）Ⅰ．若撤除勻強磁場，且保持勻強電場的大小不變，方向改為水平向右．調(diào)節(jié)初速度v的大小，使得從O點沿與x軸正方向成45°方向發(fā)射的粒子 落到圓周上D點（圖中未畫出）時的速度比沿其他方向發(fā)射的粒子落到圓周上其他各點的速度都要大，則D點的圓的切線的方向與重力、電場力的合力的方向垂直如圖：
由于mg=qE，所以合力的方向沿CD的方向，與豎直方向之間的夾角是45°，設粒子到達D的時間為t，垂直于CD的方向：vt=r•cos45° ①
沿CD方向：y=$r（1-cos45°）=\frac{1}{2}a{t}^{2}$ ②
粒子的加速度：$a=\frac{{F}_{合力}}{m}=\frac{\sqrt{（mg）^{2}+（qE）^{2}}}{m}=\sqrt{2}g$ ③
聯(lián)立①②③得：$t=\sqrt{\frac{\sqrt{2}R}{g}（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）}$
v=$\frac{\sqrt{2}r}{v}=\sqrt{\frac{gR}{2-\sqrt{2}}}$
Ⅱ．若粒子入射的方向與垂直于CD方向的夾角是θ，如圖，則則t時間內(nèi)沿CD方向的位移：

$y′=v•sinθ•t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$ ④
比較②④兩式可得，由于除到達D點的粒子，其他方向運動的粒子在t時間內(nèi)沿CD方向的位移y′與y一定不相等，所以當粒子 恰好落到圓周上D點時，沒有其它粒子同時落到圓周上．
答：（1）電場強度是$\frac{mg}{q}$，電場方向沿y軸正方向；磁感應強度的大小是$\frac{m{v}_{0}}{qR}$，磁場方向垂直于紙面向里．
（2）PN屏上光斑長度是2R．
（3）若撤除勻強磁場，且保持勻強電場的大小不變，方向改為水平向右．調(diào)節(jié)初速度v的大小，使得從O點沿與x軸正方向成45°方向發(fā)射的粒子 落到圓周上D點（圖中未畫出）時的速度比沿其他方向發(fā)射的粒子落到圓周上其他各點的速度都要大．初速度v的大小為$\sqrt{\frac{gR}{2-\sqrt{2}}}$；當粒子 恰好落到圓周上D點時，沒有其它粒子同時落到圓周上．

點評 本題的關鍵與難點是由數(shù)學知識求是否還有其它粒子同時落到圓周上，平時要注重數(shù)學方法在物理中的應用，該題型常常作為壓軸題出現(xiàn)．