Question

(10分)神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成.兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖4-3-5所示.引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T.

 (1)可見星A所受暗星B的引力可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m^/的星體(視為質(zhì)點(diǎn))對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂，試求m^/(用m₁,m₂表示);

(2)求暗星B的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式;

Answer 1

（1）設(shè) A、B的圓軌道半徑分別為、，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)其為。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有

       

設(shè) A、B之間的距離為，又，由上述各式得：，①

由萬(wàn)有引力定律，有：  將①代入得：

令        比較可得：      -②

（2）由牛頓第二定律，有：       ③

又可見星 A的軌道半徑：          ④

由②③④式解得：  ⑤