Question

8．如圖，在距水平地面高為h₁=1.2m的光滑絕緣水平臺(tái)面上，一個(gè)質(zhì)量m=1kg、帶正電q=1.0xl0^-5C的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲(chǔ)存了一定量的彈性勢(shì)能E_p．現(xiàn)打開鎖扣K，物塊與彈簧分離后以水平速度v₀向右滑離平臺(tái)，并恰好從B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入光滑豎直的圓弧軌道BC．已知B點(diǎn)距水平地面高h(yuǎn)₂=0.6m，圓弧軌道BC的圓心O與水平臺(tái)面等高，C點(diǎn)的切線水平，并與水平地面上長(zhǎng)為L(zhǎng)_l=1.2m的粗糙直軌道CM平滑連接，CM軌道區(qū)域存在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，小物塊穿過(guò)電場(chǎng)后平滑地滑上以速度v=3m/s逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的傳送帶，小物塊與直軌道和傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.4，傳送帶兩端點(diǎn)MN間距離L₂=2m，小物塊剛好沒(méi)有從N端滑離傳送帶．小物塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電量都保持不變，重力加速度g=10m/s²，空氣阻力忽略不計(jì)．試求：

（1）壓縮的彈簧在被鎖扣K鎖住時(shí)所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E；
（3）小物塊從開始運(yùn)動(dòng)到最后靜止在某點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中摩擦力產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，求出平拋的豎直分速度，根據(jù)幾何關(guān)系求出平拋的初速度，根據(jù)能量守恒定律求出彈簧的彈性勢(shì)能
（2）小物塊剛好沒(méi)有從N端滑離傳送帶，到達(dá)N點(diǎn)時(shí)速度為零，從A到N根據(jù)能量守恒定律列式；
（3）求出物塊在CM上摩擦產(chǎn)生的熱量，再求出在傳送帶上摩擦產(chǎn)生的熱量，最后求出總熱量

解答 解：（1）打開鎖扣K后，滑塊從A到B做平拋運(yùn)動(dòng)，從B到C做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)BC圓弧所對(duì)的圓心角為θ，
由幾何關(guān)系有：$cosθ=\frac{{h}_{1}^{\;}-{h}_{2}^{\;}}{{h}_{1}^{\;}}=\frac{1.2-0.6}{1.2}=\frac{1}{2}$，得θ=60°
B點(diǎn)速度的豎直分量${v}_{By}^{2}=2g（{h}_{1}^{\;}-{h}_{2}^{\;}）$
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{By}^{\;}=\sqrt{2g（{h}_{1}^{\;}-{h}_{2}^{\;}）}=\sqrt{20×（1.2-0.6）}$=$2\sqrt{3}m/s$

將B點(diǎn)的速度分解如圖所示，$tan60°=\frac{{v}_{By}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{{v}_{0}^{\;}}$
解得：${v}_{0}^{\;}=2m/s$
根據(jù)能量守恒：${E}_{p}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}×1×{2}_{\;}^{2}=2J$
（2）小物塊剛好沒(méi)有從N端滑離傳送帶，到達(dá)N點(diǎn)時(shí)速度為零，從A到N
${E}_{p}^{\;}+mg{h}_{1}^{\;}=qE{L}_{1}^{\;}+μmg（{L}_{1}^{\;}+{L}_{2}^{\;}）$
代入數(shù)據(jù)解得：$E=1.0×1{0}_{\;}^{5}V/m$
（3）設(shè)小滑塊第一次到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為${v}_{1}^{\;}$，第一次到達(dá)M點(diǎn)的速度為${v}_{2}^{\;}$
${E}_{p}^{\;}+mg{h}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：${v}_{1}^{\;}=2\sqrt{7}m/s$
$μmg{L}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：${v}_{2}^{\;}=4m/s$
小物塊從傳送帶上返回先做勻加速，速度達(dá)到3m/s后做勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)M點(diǎn)再次進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，假設(shè)能再次通過(guò)C點(diǎn)，設(shè)此時(shí)速度為${v}_{3}^{\;}$
$qE{L}_{1}^{\;}-μmg{L}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
解得：${v}_{3}^{\;}=\sqrt{1.8}m/s$
且$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}=0.9J＜mg{h}_{2}^{\;}=6J$
物塊滑到圓軌道某處，又下滑經(jīng)C點(diǎn)第三次進(jìn)入電場(chǎng)，設(shè)物塊停下時(shí)距C點(diǎn)的距離為x
$-（qE+μmg）x=0-\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
解得：x=0.18m
小物塊在電場(chǎng)中摩擦發(fā)的熱${Q}_{1}^{\;}=μmg（2{L}_{1}^{\;}+x）=10.32J$
${v}_{2}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}$，得${t}_{1}^{\;}=1s$
$v=a{t}_{2}^{\;}$，得${t}_{2}^{\;}=0.75s$
小物塊在傳送帶上發(fā)的熱
${Q}_{2}^{\;}=μmg（{L}_{2}^{\;}+v{t}_{1}^{\;}）+μmg（v{t}_{2}^{\;}-\frac{v}{2}{t}_{2}^{\;}）$=24.5J
總的發(fā)熱：$Q={Q}_{1}^{\;}+{Q}_{2}^{\;}=34.82J$
答：（1）壓縮的彈簧在被鎖扣K鎖住時(shí)所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能${E}_{p}^{\;}$為2J；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E為$1.0×1{0}_{\;}^{5}V/m$；
（3）小物塊從開始運(yùn)動(dòng)到最后靜止在某點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中摩擦力產(chǎn)生的熱量Q為34.82J．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一道力電綜合題，關(guān)鍵是分析清楚物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，選擇合適的規(guī)律解題，題目閱讀量量大，有一定的難度．