Question

木匠用質(zhì)量為m₀的釘錘擊打質(zhì)量為m（m₀≥m）的釘子，把木條釘牢在豎直的木墻上．在釘人某一顆釘子時(shí)，測得第一次敲打使釘子進(jìn)入的深度為L，如圖所示．
（1）設(shè)釘錘打向釘子的速度大小為秒v₀，則在第一次敲打的過程中釘子與木條間的平均作用力是多大？
（2）實(shí)際上，在釘子被釘人木條的過程中，木條對(duì)釘子作用力的大小總是變化的，我們假設(shè)它們間的作用大小跟釘子進(jìn)入木條的深度成正比．且每次敲打的速度都一樣，則第二次敲打過程中使釘子再次進(jìn)入木條的深度是多少？如果該釘子的總長度為nL（n＞2），那么欲將一顆釘子全部釘入木條，木匠需要敲打多少次？（數(shù)學(xué)備用：如果一個(gè)函數(shù)因變量y是自變量x的線性關(guān)系，即y=kx，則在任意一段x的變化范圍內(nèi)，y對(duì)于x的平均值都等于兩個(gè)值相加除以2，即y_平均=

kx1+kx2

2

）．

Answer 1

分析：（1）在釘錘與釘子撞擊過程中，因碰撞的時(shí)間短，可以認(rèn)為系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，動(dòng)量守恒解得共同的速度，然后由動(dòng)能定理求得平均力；
（2）每次敲打的速度都一樣，兩次動(dòng)能的損失相同，根據(jù)動(dòng)能定理，即可求得第二次敲打過程中使釘子再次進(jìn)入木條的深度和將一顆釘子全部釘入木條，木匠需要敲打的次數(shù)．

解答：解：（1）在釘錘與釘子撞擊過程中，由動(dòng)量守恒得m₀v₀=（m₀+m）v
由動(dòng)能定理：-

.

F

L=0-

1

2

(m0+m)v2
解得：

.

F

=

m 2 0

2L(m0+m)

v

2 0

（2）由題意，第一次打擊深度L₁=L，平均阻力

.

F2

=

kL+k(L+L2)

2

=

k(2L+L2)

2

，
兩次動(dòng)能的損失相同，有k

2L+L2

2

?L2=k

L

2

?L，
解得L2=(

2

-1)L
同理可得出第三次打擊深度L3=(

3

-

2

)L
即：L1+…+LN=

N

L
由題意得：

N

L=nL
得：N=n²
故，將一顆釘子全部釘入木條，木匠需要敲打n²次．
答：（1）第一次敲打的過程中釘子與木條間的平均作用力是

.

F

=

m 2 0

2L(m0+m)

v

2 0

；
（2）第二次敲打過程中使釘子再次進(jìn)入木條的深度是L2=(

2

-1)L；將一顆釘子全部釘入木條，木匠需要敲打n²次．

點(diǎn)評(píng)：該題將動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理與日常生活中的釘釘子結(jié)合在一起，是一道理論聯(lián)系實(shí)際的好題．該題中要抓住阻力隨深度的變化關(guān)系，得出正確的結(jié)論．