Question

如圖所示，橫截面為矩形的管道中，充滿了水銀，管道的上下兩壁為絕緣板，左右兩壁為導(dǎo)體板，（圖中斜線部分），兩導(dǎo)體板被一無(wú)電阻的導(dǎo)線短接．管道的高度為a，寬度為b，長(zhǎng)度為c．加在管道兩端截面上的壓強(qiáng)差恒為p，水銀以速度v沿管道方向流動(dòng)時(shí)，水銀受到管道的阻力f與速度成正比，即f=kv（k為已知量）．求：
（1）水銀的穩(wěn)定速度v₁為多大？
（2）如果將管道置于一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)與絕緣壁垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向向上，此時(shí)水銀的穩(wěn)定流速v₂又是多大？（已知水銀的電阻率為ρ，磁場(chǎng)只存在于管道所在的區(qū)域，不考慮管道兩端之外的水銀對(duì)電路的影響）

Answer 1

分析：（1）水銀勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，壓力與阻力二力平衡，由F=pS=pab求出壓力．阻力f=kv₁，由平衡條件列式，即可求得速度v₁．
（2）將管道置于一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，水銀相當(dāng)于長(zhǎng)為b的導(dǎo)體棒切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電流，受到安培阻力．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、電阻定律推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式，此時(shí)壓力與阻力、安培力三力平衡，由平衡條件求水銀的穩(wěn)定流速v₂．

解答：解：（1）水銀勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，壓力與阻力二力平衡，則有
   pab=kv₁，
解得，水銀穩(wěn)定速度  v1=

pab

k

（2）將管道置于一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，水銀切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為  E=Bbv₂
  回路中電阻為　R=ρ

b

ac

由歐姆定律得感應(yīng)電流為I=

E

R

=

Bbv2

ρ b ac

=

Bacv2

ρ

由平衡條件可得　p?ab=BIb+kv₂
所以　　v2=

p?abρ

kρ+B2abc

答：（1）水銀的穩(wěn)定速度v₁為

pab

k

．
（2）將管道置于一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，水銀的穩(wěn)定流速v₂是

pabρ

kρ+B2abc

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、電阻定律、安培力大小和方向的判斷，難點(diǎn)在于通過(guò)平衡求出流體新的穩(wěn)定速度v的表達(dá)式．