Question

（浙江省四校聯(lián)合體2011屆高三下學期開學測試理科綜合試題）如圖所示，兩足夠長平行光滑的金屬導軌MN、PQ相距為L，導軌平面與水平面夾角a=30°，導軌電阻不計．磁感應強度為B的勻強磁場垂直導軌平面向上，長為L的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導軌上，且始終與導軌接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為m、電阻為R．兩金屬導軌的上端連接右端電路，燈泡的電阻R_L=4R，定值電阻R₁=2R，電阻箱電阻調(diào)到使R₂=12R，重力加速度為g，現(xiàn)將金屬棒由靜止釋放，試求：
（1）金屬棒下滑的最大速度為多少？
（2）R₂為何值時，其消耗的功率最大？最大的功率為多少？

Answer 1

分析：（1）金屬棒ab先加速下滑，加速度減小，后勻速下滑，速度達到最大．由歐姆定律、感應電動勢和安培力公式推導出安培力的表達式，根據(jù)平衡條件求解最大速度．
（2）R₂消耗的功率P=

U2

R2

，而U=IR_并，金屬棒勻速下滑時，重力的功率等于電路的電功率，得到mgsin30°?v=

B2L2v

3R+R并

聯(lián)立得到R₂功率P與R₂的關系式，由數(shù)學知識求最值．

解答：解：
（1）金屬棒ab先加速下滑，加速度減小，后勻速下滑，速度達到最大．設最大速度為v_m．整個電路總電阻
    R_總=R+R₁+

RLR2

RL+R2

=6R
由E=BLv_m，I=

E

R總

，F(xiàn)=BIL，得到安培力F=

B2L2vm

R總

根據(jù)平衡條件得  mgsin30°=F
代入解得   金屬棒下滑的最大速度v_m=

3mgR

B2L2

．
（2）R₂消耗的功率P=

U2

R2

，而U=IR_并=

R并

R并+3R

?BLv，R_并=

4R?R2

4R+R2

又金屬棒勻速運動時，mgsin30°=

B2L2v

3R+R并

代入得到
     P=

(mgsin30°)2

B2L2

?

16R2R2

(4R+R2)2

=

m2g2

4B2L2

?

16R2

16R2 R2 +8R+R2

由數(shù)學知識得：當

16R2

R2

=R2時，即R₂=4R時，R₂消耗的功率P最大，最大值為P_m=

m2g2R

4B2L2

．
答：（1）金屬棒下滑的最大速度為

3mgR

B2L2

．
    （2）R₂=4R時，R₂消耗的功率P最大，最大值為P_m=

m2g2R

4B2L2

．

點評：本題對綜合應用電路知識、電磁感應知識和數(shù)學知識的能力要求較高，難度較大，但第（1）問是常規(guī)題，要得全分．