Question

如圖甲所示，長(zhǎng)、寬分別為L(zhǎng)₁、L₂的矩形金屬線框位于豎直平面內(nèi)，其匝數(shù)為n，總電阻為r，可繞其豎直中心軸O₁O₂轉(zhuǎn)動(dòng)．線框的兩個(gè)末端分別與兩個(gè)彼此絕緣的銅環(huán)C、D（集流環(huán)）焊接在一起，并通過(guò)電刷和定值電阻R相連．線框所在空間有水平向右均勻分布的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖乙所示，其中B₀、B₁和t₁均為已知．在0～t₁的時(shí)間內(nèi)，線框保持靜止，且線框平面和磁場(chǎng)垂直；t₁時(shí)刻后線框在外力的驅(qū)動(dòng)下開始繞其豎直中心軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．求：
（1）0～t₁時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻R的電流大��；
（2）線框勻速轉(zhuǎn)動(dòng)后，在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中電流通過(guò)電阻R產(chǎn)生的熱量；
（3）線框勻速轉(zhuǎn)動(dòng)后，從圖甲所示位置轉(zhuǎn)過(guò)90°的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電荷量．
（4）當(dāng)線圈平面與中性面夾角為π/3時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出0～t₁時(shí)間內(nèi)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再根據(jù)閉合電路歐姆定律求出通過(guò)電阻R的電流大小．
（2）根據(jù)E=nBSω求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值，從而求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值，根據(jù)歐姆定律求出感應(yīng)電流的有效值，從而根據(jù)Q=I²Rt求出電阻R產(chǎn)生的熱量．
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律結(jié)合閉合電路歐姆定律求出平均感應(yīng)電流，根據(jù)q=

.

I

t求出通過(guò)電阻R的電荷量．
（4）通過(guò)從中性面開始計(jì)時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式，求出線圈平面與中性面夾角為

π

3

時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大�。�

解答：解：（1）0～t₁時(shí)間內(nèi)，線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=n

△Φ

△t

=

nL1L2(B1-B0)

t1

．
根據(jù)閉合電路歐姆定律得，通過(guò)電阻R的電流
I=

E

R+r

=

nL1L2(B1-B0)

(R+r)t1

（2）線框產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值E_m=nB₁L₁L₂ω
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值E=

2

2

nB1L1L2ω
通過(guò)電阻R的電流有效值I=

2 nB1L1L2ω

2(R+r)

線框轉(zhuǎn)動(dòng)一周所需的時(shí)間t=

2π

ω

．
此過(guò)程中，電阻R產(chǎn)生的熱量Q=I2Rt=πRω(

nB1L1L2

R+r

)2．
（3）線框從圖甲所示位置轉(zhuǎn)過(guò)90°的過(guò)程中，
平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

.

E

=n

△Φ．

△t

=

nB1L1L2

△t

平均感應(yīng)電流

.

I

=

nB1L1L2

△t(R+r)

流過(guò)電阻R的電荷量q=

.

I

△t=

nB1L1L2

R+r

．
（4）從中性面開始計(jì)時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)表達(dá)式為E=E_msinωt
當(dāng)線圈平面與中性面夾角為

π

3

時(shí)，即ωt=

π

3

，則E=

3

2

nB1L1L2ω．
答：（1）0～t₁時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻R的電流大小為

nL1L2(B1-B0)

(R+r)t1

．
（2）線框勻速轉(zhuǎn)動(dòng)后，在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中電流通過(guò)電阻R產(chǎn)生的熱量為πRω(

nB1L1L2

R+r

)2．
（3）通過(guò)電阻R的電荷量為

nB1L1L2

R+r

．
（4）當(dāng)線圈平面與中性面夾角為π/3時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

3

2

nB1L1L2ω．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值、最大值、有效值和瞬時(shí)值的區(qū)別以及應(yīng)用．