Question

17．如圖所示為一質量為M的球形物體，密度均勻，半徑為R，在距球心為2R處有一質量為m的質點，若將球體挖去一個半徑為$\frac{R}{2}$的小球（兩球心和質點在同一直線上，且挖去的球的球心在原來球心和質點連線之間，兩球表面相切），則：
（1）球體挖去部分的質量是多大？
（2）剩余部分對質點的萬有引力的大小是多少？

Answer 1

分析 根據(jù)體積關系，求出挖去部分的質量．
用沒挖之前球對質點的引力，減去被挖部分對質點的引力，就是剩余部分對質點的引力．

解答 解：（1）根據(jù)m=$ρV=ρ\frac{4}{3}π{r}^{3}$知，挖去部分的半徑是球半徑的一半，則質量是球體質量的$\frac{1}{8}$，
所以挖去部分的質量$M′=\frac{1}{8}M$．
（2）沒挖之前，球體對m的萬有引力${F}_{1}=G\frac{Mm}{4{R}^{2}}$，
挖去部分對m的萬有引力${F}_{2}=G\frac{M′m}{（\frac{3R}{2}）^{2}}=\frac{GMm}{18{R}^{2}}$，
則剩余部分對質點的引力大小F=F₁-F₂=$\frac{7GMm}{36{R}^{2}}$．
答：（1）球體挖去部分的質量為$\frac{1}{8}M$；
（2）剩余部分對質點的萬有引力的大小是$\frac{7GMm}{36{R}^{2}}$．

點評 本題主要采用割補法的思想，根據(jù)整體球M在與小球m的引力等于割掉的小球與小球m的引力和剩余空腔部分與小球m的引力的矢量和，掌握割補思想是解決本題的主要入手點，掌握萬有引力定律公式是基礎．