Question

5．如圖所示，質(zhì)量為m=0.2kg的小球和A、B兩根細(xì)繩相連，兩繩固定在細(xì)桿的A、B兩點(diǎn)，其中A繩長(zhǎng)L_A=2m，當(dāng)兩繩都拉直時(shí)，A、B兩繩和細(xì)桿的夾角θ₁=37°，θ₂=53°，g=10m/s²．求
（1）當(dāng)細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω在什么范圍內(nèi)，A、B兩繩始終張緊？
（2）求當(dāng)ω=3rad/s時(shí)，小球的機(jī)械能．（以細(xì)桿靜止時(shí)，小球平衡的位置為零勢(shì)能點(diǎn)）

Answer 1

分析 （1）小球做圓周運(yùn)動(dòng)靠合力提供向心力，求出兩個(gè)臨界情況下的加速度，即根據(jù)牛頓第二定律求出B繩恰好拉直，但T_B=0時(shí)，細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，當(dāng)A繩恰好拉直，但T_A=0時(shí)，細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，從而得出角速度的范圍．
（2）當(dāng)ω=3rad/s時(shí)，分別求出動(dòng)能和重力勢(shì)能，再求機(jī)械能．

解答 解：（1）當(dāng)B繩恰好拉直，T_B=0時(shí)，細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω₁，
則有：mgtan37°=mω²L_Asin37°
解得：ω₁=2.5rad/s                    
當(dāng)A繩恰好拉直，T_A=0時(shí)，細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω₂，
有：mgtan53°=mω²L_Asin37°
解得：ω₂=$\frac{10}{3}$rad/s≈3.3rad/s                   
要使兩繩都拉緊2.5 rad/s＜ω＜3.3rad/s．
（2）以細(xì)桿靜止時(shí)小球平衡的位置為零勢(shì)能點(diǎn)，則小球的重力勢(shì)能為：
E_P=mg（L_A-L_Acos37°）=0.8J
動(dòng)能為：
E_k=$\frac{1}{2}m$（ωL_Asin37°）²=$\frac{1}{2}×0.2×（3×2×0.6）^{2}$J=1.296J
故小球的機(jī)械能為：E=E_P+E_k=2.096J
答：（1）當(dāng)細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω在：2.5 rad/s＜ω＜3.3rad/s范圍內(nèi)，A、B兩繩始終張緊．
（2）當(dāng)ω=3rad/s時(shí)，小球的機(jī)械能是2.096J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵得出繩子拉直時(shí)的兩種臨界情況，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，要明確小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)由合力充當(dāng)向心力．