Question

16．人類一直夢(mèng)想登上月球，將月球作為人類的第二個(gè)家園．現(xiàn)根據(jù)觀測已知月球的質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G．求：
（1）月球的第一宇宙速度v
（2）月球同步衛(wèi)星的軌道半徑r．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是衛(wèi)星繞月球表面飛行時(shí)的速度，根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求解即可；
（2）同步衛(wèi)星的周期與月球自轉(zhuǎn)周期相同，根據(jù)萬有引力提供向心力求解同步衛(wèi)星的軌道半徑．

解答 解：（1）衛(wèi)星繞月星表面飛行時(shí)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得衛(wèi)星的速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
近月衛(wèi)星的飛行速度即為月球的第一宇宙速度；
（2）同步衛(wèi)星的周期與月球自轉(zhuǎn)周期相同，根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得同步衛(wèi)星的軌道半徑r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
答：（1）月球的第一宇宙速度v為$\sqrt{\frac{GM}{R}}$；
（2）月球同步衛(wèi)星的軌道半徑r為$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 理解什么是第一宇宙速度，知道同步衛(wèi)星的周期與月球自轉(zhuǎn)周期相同，能根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力分析是關(guān)鍵．