Question

9．如圖所示，一質量為m的可視為質點的小球用長為L的輕質細線懸于O點，與O點處于同一水平線上的P點處有一個光滑的細釘，OP=$\frac{3}{4}$L，在A點給小球一個水平向左的初速度，發(fā)現(xiàn)小球恰能到達跟P點在同一豎直線上的最高點B，已知重力加速度為g，（設小球在運動過程中細線不會被拉斷）
（1）若不計空氣阻力，小球到達B點時的速率為多大？
（2）若不計空氣阻力，小球初速度v₀=$\sqrt{3gL}$，試判斷小球能否到達B點？若能到達，求在B點時細線受到小球的拉力的大�。�
（3）若空氣阻力不能忽略，且給小球向左的初速度v₀′=$\sqrt{3gL}$時小球恰能到達B點，求這一過程中空氣阻力對小球所做的功．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能到達最高點B時，由重力提供圓周運動的向心力，由此求得小球到達B時的速率大小；
（2）假設小球能到達B點，根據(jù)機械能守恒求得小球到達B點的速度，與到達B點的臨界速度，即可判斷小球能否到達B點．若能到達，再根據(jù)牛頓第二定律求得繩對小球的拉力大��；
（3）根據(jù)動能定理求得空氣阻力對小球所做的功．

解答 解：（1）小球恰好到達B點時滿足：
mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{L}{4}}$
解得：v_B=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gL}$
（2）設小球能從A運動到B，由機械能守恒定律有：
  mg•$\frac{5L}{4}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{′2}$
解得：v_B′=$\frac{1}{2}\sqrt{2gL}$＞$\frac{1}{2}$$\sqrt{gL}$
所以小球能到達B點
在B點，對小球，由牛頓第二定律有：
mg+T=m$\frac{{v}_{B}^{′2}}{\frac{L}{4}}$
代入可解得：T=mg
根據(jù)牛頓第三定律可知繩受到小球的拉力T′=T=mg
（3）設小球從A運動到B的過程中空氣阻力做功為W_f，由動能定理有：
-mg•$\frac{5L}{4}$+W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$
解得：W_f=-$\frac{5}{8}$mgL
答：（1）若不計空氣阻力，小球到達B點時的速率為$\frac{1}{2}$$\sqrt{gL}$．
（2）小球能到達B點，在B點時細線受到小球的拉力的大小是mg．
（3）這一過程中空氣阻力對小球所做的功是-$\frac{5}{8}$mgL．

點評 本題考查了牛頓第二定律和動能定理的綜合，關鍵要明確小球恰好到達最高點的臨界情況，即拉力為零，重力提供向心力．