Question

過山車是游樂場中常見的設(shè)施．如圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點(diǎn)，設(shè)AB=BC=CD=L，半徑R₁=3.0m、R₂=2.0m、R₃=3.0m．一個質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以某一初速度沿軌道向右運(yùn)動，小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，圓形軌道是光滑的，圓形軌道間不相互重疊，條件滿足可從第一圓軌道運(yùn)動到第二、第三圓軌道．重力加速度取g=10m/s²，計(jì)算結(jié)果可用根式表示，試求：

（1）如果小球恰能通過第一個和第二個圓形軌道的最高點(diǎn)，兩圓軌道間距L應(yīng)是多少？

（2）如果L取第一問結(jié)果，保證小球在運(yùn)動過程中不脫離第三個圓形軌道，求小球在A點(diǎn)的初速度滿足的條件．

Answer 1

考點(diǎn)：  機(jī)械能守恒定律；向心力．

專題：  機(jī)械能守恒定律應(yīng)用專題．

分析：  （1）小球恰好通過圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球通過兩個圓軌道最高點(diǎn)的速度，再由動能定理求L．

（2）小球在運(yùn)動過程中不脫離第三個圓形軌道，有兩種可能：一、小球在第三圓軌道中做完整的圓周運(yùn)動．二、小球在下半圓內(nèi)運(yùn)動．根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的臨界速度，由動能定理求初速度的范圍．

解答：  解：（1）設(shè)恰好通過第一圓軌道最高點(diǎn)速度為v₁，恰好通過第二圓軌道最高點(diǎn)速度為v₂，則有：

mg=m，

mg=m

小球由第一圓軌道最高點(diǎn)到第二圓軌道最高點(diǎn)過程有：

mg（2R₁﹣2R₂）﹣μmgL=

聯(lián)立①②③得：L=5m

（2）要使小球不脫離第三圓軌道，應(yīng)滿足小球能通過第三圓軌道最高點(diǎn)，或滿足通過第二圓軌道最高點(diǎn)并且在第三圓軌道上升的最大高度h≤R₃．

設(shè)初速度v₀=v₀₁時(shí)恰好通過第三圓軌道最高點(diǎn)，此時(shí)速度為v₃，則有：mg=m

由動能定理得：

﹣μmg（3L）﹣mg•2R₃=﹣

解得：v₀₁=10m/s

設(shè)初速度v₀=v₀₂時(shí)恰好通過第二圓軌道最高點(diǎn)，則有：

mg=m

由動能定理得：

﹣μmg（2L）﹣mg•2R₂=﹣

解得：v₀₂=10m/s

設(shè)初速度v₀=v₀₃時(shí)通過第二圓軌道最高點(diǎn)并恰好能上升到達(dá)第三圓軌道h=R₃處，則

﹣mgh﹣μmg（3L）=0﹣

解得：v₀₃=m/s

綜上所述，要使小球不脫離第三圓軌道，應(yīng)滿足：v₀≥10m/s或10m/s≤v₀≤m/s．

答：（1）如果小球恰能通過第一個和第二個圓形軌道的最高點(diǎn)，兩圓軌道間距L應(yīng)是5m．

（2）小球在A點(diǎn)的初速度滿足的條件是：v₀≥10m/s或10m/s≤v₀≤m/s．

點(diǎn)評：  本題綜合運(yùn)用了動能定理和牛頓第二定律，關(guān)鍵要把握豎直平面圓周運(yùn)動最高點(diǎn)的臨界條件，運(yùn)用動能定理解題注意要合理地選擇研究的過程，列表達(dá)式求解．