Question

2．相距很近的平行板電容器，在兩板中心各開有一個(gè)小孔，如圖甲所示，靠近A板的小孔處有一電子槍，能夠持續(xù)均勻地發(fā)射出電子，電子的初速度為v₀，質(zhì)量為m，電量為-e，在AB兩板之間加上如圖乙所示的交變電流，其中0＜k＜1，U₀=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{6e}$；緊靠B板的偏轉(zhuǎn)電壓也等于U₀，板長(zhǎng)為L(zhǎng)兩極板間距為d，距偏轉(zhuǎn)極板右端$\frac{L}{2}$處垂直放置很大的熒光屏PQ，不計(jì)電子的重力和它們之間的相互作用，電子在電容器中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間可以忽略不計(jì)．

（1）試求在0～kT與kT～T時(shí)間內(nèi)射出B板電子的速度各是多大？
（2）在0～T時(shí)間內(nèi)，熒光屏上有兩個(gè)位置會(huì)發(fā)光，試求這兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離．（結(jié)果又L、d表示）

Answer 1

分析 （1）對(duì)直線加速過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解電子的速度；
（2）在0-kT時(shí)間內(nèi)，根據(jù)動(dòng)能定理求出電子穿出B板后的速度，在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中，電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到偏轉(zhuǎn)距離．根據(jù)推論：電子射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，好像從“中點(diǎn)射出”，得到打在熒光屏上的坐標(biāo)．再運(yùn)用同樣的方法求出在kT-T 時(shí)間內(nèi)，電子打在熒光屏上的坐標(biāo)，即可求得這兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離．

解答 解：（1）電子經(jīng)過(guò)電容器內(nèi)的電場(chǎng)后，速度要發(fā)生變化，設(shè)在0-kT時(shí)間內(nèi)，穿出B板后速度為ν₁，kT-T時(shí)間內(nèi)射出B 板電子的速度ν₂．
據(jù)動(dòng)能定理有：
-eU₀=$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
   eU₀=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
將U₀=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{6e}$代入上式，得：
 ν₁=$\sqrt{\frac{4e{U}_{0}}{m}}$
 v₂=$\sqrt{\frac{8e{U}_{0}}{m}}$
（2）在0-kT時(shí)間內(nèi)射出 板電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中，電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{L}{{v}_{1}}$
側(cè)移量：y₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{e{U}_{0}}{md}•\frac{{L}^{2}}{{v}_{1}^{2}}$，
得：y₁=$\frac{{L}^{2}}{8d}$
打在熒光屏上的坐標(biāo)為y₁′，則：y₁′=2y₁=$\frac{{L}^{2}}{4d}$
同理可得在kT-T時(shí)間內(nèi)設(shè)穿出B板后電子側(cè)移量：y₂=$\frac{{L}^{2}}{16d}$
打在熒光屏上的坐標(biāo)：y₂′=2y₂=$\frac{{L}^{2}}{8d}$
故兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離：△y=y₁′-y₂′=$\frac{{L}^{2}}{8d}$
答：（1）在0～kT與kT～T時(shí)間內(nèi)射出B板電子的速度各是$\sqrt{\frac{4e{U}_{0}}{m}}$和$\sqrt{\frac{8e{U}_{0}}{m}}$．
（2）這兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離是$\frac{{L}^{2}}{8d}$．

點(diǎn)評(píng) 本題利用帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)及其相關(guān)知識(shí)列方程進(jìn)行解答，關(guān)鍵要分析出臨界條件和隱含的條件．