Question

4．如圖所示，質(zhì)量為M，半徑為R的鐵環(huán)放在光滑的平面上，另有質(zhì)量為m的小鐵球，以初速v₀從O出發(fā)，而OO′=$\frac{R}{2}$，則經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間小球?qū)⑴c鐵環(huán)發(fā)生第N次彈性碰撞？

Answer 1

分析 小球與鐵環(huán)碰撞過程動(dòng)量守恒，把小球的速度分解為沿圓的切線方向的分速度和沿法線方向的分速度，碰撞過程遵守反射定律，分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：由幾何知識(shí)可知：α=30°，
小球在A點(diǎn)的速度分解：v₁=v₀cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$v₀，v₂=v₀sinα=$\frac{1}{2}$v₀，
v₁是鐵環(huán)與鐵球在OA方向的相對(duì)速度，碰撞后的相對(duì)速度：v′=v₁，沿AO的反方向，v₂不變，
以圓環(huán)為參考系，碰后小球的合速度方向沿AB方向，AB方向滿足：∠O′AO=∠OAB，
即小球與鐵環(huán)發(fā)生彈性碰撞時(shí)，在碰撞點(diǎn)小球的反射角等于入射角，
由此可知：∠O′AB=2∠O′AO=2α=60°，
小球在B點(diǎn)和圓環(huán)碰撞后仍滿足反射角等于入射角，碰后沿BC方向運(yùn)動(dòng)，
在C點(diǎn)碰撞后情況相同，小球以圓環(huán)為參考系，將在一個(gè)等邊三角形ABC的三邊上以初速度v₀運(yùn)動(dòng)，
從出發(fā)開始，經(jīng)過：t₁=$\frac{\frac{l}{2}}{{v}_{0}}$第一次碰撞，l為三角形的邊長(zhǎng)，l=2Rcosα=$\sqrt{3}$R，
由此可知，第1次、第2次、…第N次碰撞時(shí)刻為：t₁=$\frac{\sqrt{3}R}{2{v}_{0}}$，
t₂=t₁+$\frac{l}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}R}{2{v}_{0}}$+$\frac{\sqrt{3}R}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2×2-1）$\frac{R}{{v}_{0}}$，
…
t_n=$\frac{\sqrt{3}}{2{v}_{0}}$R（2N-1）；
答：經(jīng)過時(shí)間$\frac{\sqrt{3}}{2{v}_{0}}$R（2N-1）小球?qū)⑴c鐵環(huán)發(fā)生第N次彈性碰撞．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，本題難度很大，分析清楚運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的關(guān)鍵，分析清楚運(yùn)動(dòng)過程后，應(yīng)用速公式求出時(shí)間，解題時(shí)要注意反射定律的應(yīng)用、注意數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用．