Question

1．在水平圓盤上有一過圓心的光滑水平槽，槽內有兩根原長、勁度系數(shù)均相同的橡皮繩拉住一質量為m的小球，一條橡皮繩拴在O點，另一條拴在O′點，其中O點為圓盤的中心，O′點為圓盤的邊緣．橡皮繩的勁度系數(shù)為k，原長為圓盤半徑R的$\frac{1}{3}$．現(xiàn)使圓盤角速度由零緩慢增大，求：
（1）圓盤的角速度ω₀為多大時，外側橡皮繩恰好無拉力．
（2）圓盤的角速度ω₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{k}{m}}$與ω₂=$\sqrt{\frac{11k}{18m}}$時，小球做圓周運動的半徑之比r₁：r₂．

Answer 1

分析 （1）外側橡皮繩無拉力時，靠內側繩的拉力提供向心力，結合牛頓第二定律和胡克定律求出圓盤轉動的角速度大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定律和胡克定律，抓住合力提供向心力求出半徑之比．

解答 解：（1）當圓盤的角速度為ω₀時，外側橡皮繩恰好無拉力，
則有：$k（\frac{2}{3}R-\frac{1}{3}R）=m\frac{2}{3}R{{ω}_{0}}^{2}$，
可得${ω}_{0}=\sqrt{\frac{k}{2m}}$．
（2）當$ω={ω}_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}＜{ω}_{0}$，故兩繩均有拉力，
設此時半徑為r₁，則有：
$k（{r}_{1}-\frac{R}{3}）-k（R-{r}_{1}-\frac{R}{3}）=m{r}_{1}{{ω}_{1}}^{2}$，
解得${r}_{1}=\frac{4}{7}R$，
當$ω={ω}_{2}=\sqrt{\frac{11k}{18m}}＞{ω}_{0}$，故右側繩無拉力，
設此時半徑為r₂，則有：
$k（{r}_{2}-\frac{R}{3}）=m{r}_{2}{{ω}_{2}}^{2}$，
解得${r}_{2}=\frac{6}{7}R$，
所以r₁：r₂=2：3．
答：（1）圓盤的角速度ω₀為$\sqrt{\frac{k}{2m}}$時，外側橡皮繩恰好無拉力．
（2）圓盤的角速度ω₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{k}{m}}$與ω₂=$\sqrt{\frac{11k}{18m}}$時，小球做圓周運動的半徑之比r₁：r₂為2：3．

點評 解決本題的關鍵知道圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律和胡克定律綜合求解，難度中等．