Question

如圖7-17所示，一根一端封閉的玻璃管，當(dāng)L=0.96m，內(nèi)有一段長(zhǎng)h₁=0.20m的水銀柱。當(dāng)溫度為t₁=27℃，開(kāi)口端豎直向上時(shí)，封閉空氣柱h₂= 0.60m。問(wèn)溫度至少升到多高時(shí)，水銀柱才能從管中全部溢出？（外界大氣壓相當(dāng)于L₀= 0.76m高的水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)）

Answer 1

T₂=385.2K

【錯(cuò)解分析】錯(cuò)解：以封閉氣體為研究對(duì)象，其初態(tài)：p₁=(L₀+h₁)，V₁=h₂S下；末態(tài)是水銀剛好完全溢出時(shí)的狀態(tài)：p₂=L₀，V₂=LS
　　T₂=？
　　
　　上述解答中有一個(gè)錯(cuò)誤，就是存在“潛在假設(shè)”。即認(rèn)為：水銀柱在外溢過(guò)程中，氣體體積越大，對(duì)應(yīng)溫度越高，當(dāng)氣體充滿整個(gè)玻璃管（即水銀全部溢出）時(shí)，所對(duì)應(yīng)的溫度是最高的。事實(shí)是：
　　越高。在水銀末溢出前，p不變，V越大，T越大。在水銀溢出的過(guò)程中，p減小，V增大，p·V的乘積并非一直增大。所以我們?cè)诮忸}的過(guò)程中，應(yīng)找出在什么條件下，pV的乘積最大，由此確定相應(yīng)的溫度。
　　T越高，假設(shè)管中還有長(zhǎng)為X的水銀柱尚未溢出時(shí)，pV值最大，即（L₀+x）（L－x）S的值最大，這是一個(gè)數(shù)學(xué)求極值問(wèn)題。因?yàn)椋↙₀+x）+（L－x）=（L₀+L）與x的大小無(wú)關(guān)，所以由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：兩數(shù)之和為一常數(shù)，則當(dāng)這兩數(shù)相等時(shí)，其乘積最大。
　　所以：L₀+x =L－x
　　
　　即管內(nèi)水銀柱由0.20m溢出到還剩下0.10m的過(guò)程中，p·V的乘積越來(lái)越大，這一過(guò)程必須是升溫的。此后，溫度不必再升高（但要繼續(xù)給氣體加熱），水銀柱也將繼續(xù)外溢，直至完全溢出。由氣態(tài)方程：
　　
　　　
　　代入數(shù)據(jù)得：T₂=385.2K。