Question

10．有個演示實(shí)驗(yàn)，在上下面都是金屬板的玻璃盒內(nèi)，放了許多用錫箔紙揉成的小球，當(dāng)上下板間加上電壓后，小球就上下不停地跳動．現(xiàn)取以下簡化模型進(jìn)行定量研究．
如圖所示，電容量為C的平行板電容器的極板A和B水平放置，相距為d，與電壓為U、內(nèi)阻可不計(jì)的電源相連．設(shè)兩板之間只有一個質(zhì)量為m的導(dǎo)電小球，小球可視為質(zhì)點(diǎn)．已知：若小球與極板發(fā)生碰撞，則碰撞后小球的速度立即變?yōu)榱�，帶電狀態(tài)也立即改變，改變后，小球所帶電荷符號與該極板相同，電量為極板電量的α倍（α＜＜1）．不計(jì)帶電小球?qū)�極板間勻強(qiáng)電場的影響．重力加速度為g．
（1）欲使小球能夠不斷地在兩板間上下往返運(yùn)動，電壓U至少應(yīng)大于多少？
（2）設(shè)上述條件已滿足，小球從上極板開始向下運(yùn)動為計(jì)時開始，在較長的時間間隔T內(nèi)小球做了很多次往返運(yùn)動．求在T時間內(nèi)小球往返運(yùn)動的次數(shù)以及通過電源的總電量．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，電容器兩板間的電壓等于電源電動勢，由題意可知電場力與重力間的關(guān)系，再由電容器的電容公式可求得電量的表達(dá)式，即可求得電動勢；
（2）小球與極板碰后均做勻變速直線運(yùn)動，則動力學(xué)公式可分別求得小球與上下極板各碰一次之后的運(yùn)動時間，則可求得小球往返一次所用的時間；即可求得Ts內(nèi)往返的次數(shù)；因小球與極板每碰一次，都會有q的電量通過電源，則可求得總電量．

解答 解：（1）用Q表示極板電荷量的大小，q表示碰后小球電荷量的大小．
要使小球能不停地往返運(yùn)動，小球所受的向上的電場力至少應(yīng)大于重力，
則：q$\frac{U}hdq7hwc$＞mg，其中：q=αQ，電荷量：Q=CU，解得：U＞$\sqrt{\frac{mgd}{αC}}$；
（2）當(dāng)小球帶正電時，小球所受電場力與重力方向相同，向下做加速運(yùn)動．
以a₁表示其加速度，t₁表示從A板到B板所用的時間，
則有：q$\frac{U}x64tw23$+mg=ma₁，d=$\frac{1}{2}$a₁t₁²，
當(dāng)小球帶負(fù)電時，小球所受電場力與重力方向相反，向上做加速運(yùn)動，
以a₂表示其加速度，t₂表示從B板到A板所用的時間，
則有：q$\frac{U}3vkq8em$-mg=ma₂，d=$\frac{1}{2}$a₂t₂²，
小球往返一次共用時間為（t₁+t₂），故小球在T時間內(nèi)往返的次數(shù)：
n=$\frac{T}{{t}_{1}+{t}_{2}}$，由以上關(guān)系式解得：n=$\frac{T}{\sqrt{\frac{2mnqwl0lv^{2}}{αC{U}^{2}+mgd}+\sqrt{\frac{2mhb0wddc^{2}}{αC{U}^{2}-mgd}}}}$，
小球往返一次通過的電量為2q，
在T時間內(nèi)通過電源的總電量Q'=2qn
由以上兩式可得：Q'=$\frac{2αCUT}{\sqrt{\frac{2mj8ybphc^{2}}{αC{U}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2mngesoiw^{2}}{αC{U}^{2}-mgd}}}$；
答：（1）欲使小球能夠不斷地在兩板間上下往返運(yùn)動，電壓U至少應(yīng)大于$\sqrt{\frac{mgd}{αC}}$；
（2）在T時間內(nèi)小球往返運(yùn)動的次數(shù)為$\frac{T}{\sqrt{\frac{2mrtrp4qo^{2}}{αC{U}^{2}+mgd}+\sqrt{\frac{2mpsr3lwe^{2}}{αC{U}^{2}-mgd}}}}$，通過電源的總電量為：$\frac{2αCUT}{\sqrt{\frac{2mimv9zqp^{2}}{αC{U}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2mwqeurgf^{2}}{αC{U}^{2}-mgd}}}$．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)在于明確題意，要求學(xué)生能夠從題干中找出物體運(yùn)動的情景，并能聯(lián)系所學(xué)規(guī)律進(jìn)行解題；對學(xué)生要求較高．