Question

如圖所示，長為l的繩子下端連著質(zhì)量為m的小球，上端懸于天花板上，當(dāng)把繩子拉直時，繩子與豎直線夾角為60°，此時小球靜止于光滑水平桌面上．
（1）當(dāng)球以ω=做圓錐擺運動時，繩子張力T為多大？桌面受到壓力N為多大？
（2）當(dāng)球以角速度ω=做圓錐擺運動時，繩子的張力及桌面受到的壓力各為多少？

Answer 1

解：（1）對小球受力分析，作出力圖如圖1．
根據(jù)牛頓第二定律，得
Tsin60°=mω²Lsin60°①
mg=N+Tcos60° ②
又ω=
解得
T=mg，N=
（2）設(shè)小球?qū)ψ烂媲『脽o壓力時角速度為ω₀，即N=0
代入①②得ω₀=
由于ω=＞ω₀，故小球離開桌面做勻速圓周運動，則N=0此時小球的受力如圖2．設(shè)繩子與豎直方向的夾角為θ，則有
mgtanθ=mω²?Lsinθ③
mg=Tcosθ ④
聯(lián)立解得 T=4mg
答：
（1）當(dāng)球以ω=做圓錐擺運動時，繩子張力T=mg，桌面受到壓力N=；
（2）當(dāng)球以角速度ω=做圓錐擺運動時，繩子的張力為4mg，桌面受到的壓力為零．
分析：（1）當(dāng)球做圓錐擺運動時，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，采用正交分解法列方程求解繩子的張力和支持力，再由牛頓第三定律求出桌面受到的壓力．
（2）當(dāng)小球?qū)ψ烂媲『脽o壓力時，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解此時小球的角速度．根據(jù)角速度ω=與臨界角速度的關(guān)系，判斷小球是否離開桌面．若小球桌面做圓周運動，再由牛頓第二定律求解繩子的張力．
點評：本題是圓錐擺問題，分析受力，確定向心力來源是關(guān)鍵，實質(zhì)是牛頓第二定律的特殊應(yīng)用．