Question

16．宇航員到達某星球后，試圖通過相關測量估測該星球的半徑，他在該星球上取得一礦石，測得其質量為m₀，體積為v₀，重力為W，若所取礦石密度等于該星球平均密度，萬有引力常量為G，該星球視為球形，請用以上物理量推導該星球半徑的表達式．

Answer 1

分析 根據礦石的質量和重力求解重力加速度，
忽略星球自轉的影響，根據萬有引力等于重力列出等式分析求解．

解答 解：他在該星球上取得一礦石，測得其質量為m₀，體積為v₀，重力為W，
所以星球表面重力加速度g=$\frac{W}{{m}_{0}}$，
忽略星球自轉的影響，根據萬有引力等于重力列出等式
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
$\frac{Gρ•\frac{4}{3}{πR}^{3}}{{R}^{2}}$=g
g=$\frac{4GπρR}{3}$=$\frac{W}{{m}_{0}}$
ρ=$\frac{{m}_{0}}{{V}_{0}}$
解得R=$\frac{3{WV}_{0}}{4π{Gm}_{0}^{2}}$，
答：該星球半徑的表達式是R=$\frac{3{WV}_{0}}{4π{Gm}_{0}^{2}}$．

點評 解決天體運動問題有兩種途徑，一種是根據地球表面重力等于萬有引力，另一種途徑是根據衛(wèi)星的萬有引力提供向心力列方程求解．