Question

如圖所示，穿過光滑水平平面中央小孔O的細(xì)線與平面上質(zhì)量為m的小球P相連，手拉細(xì)線的另一端，讓小球在水平面內(nèi)以角速度ω₁沿半徑為a的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．所有摩擦均不考慮． 求：
（1）這時(shí)細(xì)線上的張力多大？
（2）若突然松開手中的細(xì)線，經(jīng)時(shí)間△t再握緊細(xì)線，隨后小球沿半徑為b的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．試問：△t等于多大？這時(shí)的角速度ω₂為多大？

Answer 1

分析：由題意可知，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力是由細(xì)線的拉力提供的．則可求出細(xì)線上的張力大小；當(dāng)突然松開手時(shí)，小球沿切線方向勻速飛出．當(dāng)再次握住時(shí)，小球又做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由半徑a與ω₁可求出飛出之前的速度．再由半徑b，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的分解可求出小球以半徑b做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度．從而可求出此時(shí)的角速度．由于是勻速飛出，所以利用直角三角形，由長度a、b可求出時(shí)間．

解答：解：（1）細(xì)線的拉力提供小球需要的向心力，
        由牛頓第二定律：T=mω₁²a     
        故細(xì)線的拉力等于mω₁²a     
（2）松手后小球由半徑為a圓周運(yùn)動(dòng)到半徑為b的圓周上，做的是勻速直線運(yùn)動(dòng)
如圖所示：

則時(shí)間△t=

s

v

=

b2-a2

ω1a

                        
小球勻速直線運(yùn)動(dòng)速度要在瞬間變到沿圓周切向，實(shí)際的運(yùn)動(dòng)可看做沿繩和垂直繩的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)同時(shí)進(jìn)行，
有v₂=vsinθ=v

a

b

，
即bω2=aω1?

a

b

   
則得：ω2=

a2

b2

ω1
所以時(shí)間△t=

s

v

=

b2-a2

ω1a

，這時(shí)的角速度ω2=

a2

b2

ω1

點(diǎn)評：搞清小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力來源，同時(shí)本題巧妙運(yùn)用三角函數(shù)求出松手前后的線速度關(guān)系．值得注意是松手后小球做的是勻速直線運(yùn)動(dòng)．