Question

（2010?開封模擬）在光滑水平地面上有A、B兩等大均勻的小球，質(zhì)量分別為m₁和m₂，其中m₁=3m₂．在兩小球的右側(cè)同一水平線上，有一半徑R=0.2m的四分之一光滑圓槽，槽口的最上端與其圓心在一條水平線上，最下端與地面相切，其質(zhì)量M=m₂．現(xiàn)把槽固定在地面上，m₁以4m/s的速度向右與m₂相碰，碰后m₂恰好能到達(dá)槽口的最上端．若把AB互換位置，m₂仍然以4m/s的速度向右與m₁相碰，求碰后m₁最終能離開地面上升的最大高度？（g=10m/s²）

Answer 1

分析：AB互換位置前：先分析判斷兩球碰撞是否屬于完全彈性碰撞，經(jīng)過判斷屬于完全彈性碰撞，方法是：對(duì)B球，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出碰后B的速度，結(jié)果可知，兩球發(fā)生彈性碰撞．
AB交換位置以后仍然屬于完全彈性碰撞，再按照完全彈性碰撞所遵循的兩個(gè)守恒：動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得出高度．

解答：解：AB互換位置前：對(duì)碰后B的過程研究：根據(jù)機(jī)械能守恒得：
 

1

2

m2

v

2 2

=m₂gR
得：v₂=

2gR

=

2×10×0.2

=2m/s
根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂
得：v₁′=v1-

m2

m1

v2=4-3×2=-2m/s
碰撞前，A球的動(dòng)能為 E_kA=

1

2

m1

v

2 1

=

1

2

m1?42=8m₁；碰撞后，A、B兩球的總動(dòng)能為 E_kA′+E_kB=

1

2

m1

v

′2 1

+

1

2

m2

v

2 2

=

1

2

m1?(-2)2+

1

2

?3m1?22=8m₁；
可見，碰撞前后系統(tǒng)的總動(dòng)能不變，所以兩球發(fā)生彈性碰撞．
AB交換位置以后仍然屬于完全彈性碰撞，設(shè)B、A碰后兩球的速度分別為v₃和v₄，碰后m₁最終能離開地面上升的最大高度為h，
對(duì)于碰撞過程，有：
   m₂v₁=m₁v₄+m₂v₃，
 

1

2

m2

v

2 1

=

1

2

m1

v

2 4

+

1

2

m2

v

2 3

代入得：3m₁×4=m₁v₄+3m₁v₃，
 

1

2

?3m1?42=

1

2

m1

v

2 4

+

1

2

?3m1

v

2 3

聯(lián)立解得，v₄=6m/s；
對(duì)于碰后m₁離開地面上升過程，根據(jù)機(jī)械能守恒得：

1

2

m1

v

2 4

=m₁gh
解得：h=

v 2 4

2g

=

62

2×10

m=1.8m
答：碰后m₁最終能離開地面上升的最大高度為1.8m．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是判斷兩球的碰撞是否是彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律結(jié)合求解．