Question

13．半徑為R的光滑半圓形軌道AB和半徑為2R的光滑四分之一圓軌道BC相切于B點，豎直放置于水平地面上，如圖所示．AB為直徑，且A點為軌道最高點，D為弧BC的中點，E、F為弧BC的三等分點．可視為質(zhì)點的小球從C點正上方距C點h處由靜止下落進入四分之一圓軌道，再通過半圓軌道的最高點A，從A點飛出后落在四分之一圓軌道上，不計空氣阻力，則以下判斷正確的是（　�。�

• A． 只要h＞0，小球就能從A點拋出
• B． 若h=$\frac{1}{2}$R，小球?qū)�會落在D點
• C． 小球經(jīng)過A點拋出后，一定不會落到F點
• D． 小球經(jīng)過A點拋出落到E點時，速度方向與水平方向夾角的正切值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 小球能到達A點的最小速度為$\sqrt{gR}$，由機械能守恒定律求h的條件．根據(jù)機械能守恒定律求出小球通過A點的速度，由平拋運動規(guī)律和幾何關(guān)系分析小球落在哪一點．由分速度關(guān)系求速度方向與水平方向夾角的正切值．

解答 解：A、小球恰能到達A點時，有 mg=m$\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$，則得 v_A=$\sqrt{gR}$，由機械能守恒定律得 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$，得 h=$\frac{1}{2}$R．所以只有當h≥$\frac{1}{2}$R時，小球才能從A點拋出．故A錯誤．
B、若h=$\frac{1}{2}$R，由上知，小球到達A點的速度為 v_A=$\sqrt{gR}$，由平拋運動的規(guī)律有：
  x=v_At
  y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
又 x²+y²=（2R）²．
聯(lián)立解得 x=$\sqrt{2（\sqrt{5}-1）}$R，y=（$\sqrt{5}$-1）R，由數(shù)學(xué)知識可得，小球不會落在D點，故B錯誤．
C、由AF間的豎直高度為 h=2Rcos30°=$\sqrt{3}$R＞y，所以小球經(jīng)過A點拋出后，一定不會落到F點．故C正確．
D、小球經(jīng)過A點拋出落到E點時，有：
     x=2Rcos30°=v_At
     y=2Rsin30°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
且速度方向與水平方向夾角的正切值為 tanα=$\frac{gt}{{v}_{A}}$
聯(lián)立解得 tanα=2tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故D正確．
故選：CD

點評 解決本題的關(guān)鍵要把握隱含的臨界條件和平拋運動的限制條件，要知道小球到達A點的最小速度不是零，小球落在圓弧上時，水平和豎直位移滿足的幾何關(guān)系是：x²+y²=（2R）²．