Question

在光滑水平面的一直線上，排列著一系列可視為質點的質量都為m的物體，分別用1.2.3…．標記，如圖所示，在1之前，放一質量為M=4m的可視為質點的物體A，它們相鄰間的距離均為L，現(xiàn)在在所有物體均靜止的情況下，用一水平恒力F推物體A，從而發(fā)生一系列碰撞，設每次碰撞后物體都粘在一起運動，求：
（1）當運動物體與第幾個物體碰撞前的瞬間，運動物體會達到在整個運動過程中的最大速度？此速度為多大？
（2）從開始運動到最大速度經歷多長時間？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動能定理和動量守恒定律求出與第k個物體碰撞前的速度的通項表達式，結合數(shù)學關系得出與第幾個物體碰撞前瞬間速度最大，以及最大速度的大小．
（2）根據(jù)動量定理求出從開始到最大速度經歷的時間．

解答：解：（1）根據(jù)動能定理得，F(xiàn)L=

1

2

Mv02，解得v0=

FL 2m

．
A與1碰后速度為v₁，根據(jù)動量守恒定律得，Mv₀=（M+m）v₁，解得v1=

4v0

5

=

4

5

FL 2m

．
A與1一起做勻加速，根據(jù)動能定理得，FL=

1

2

?5m(v1′2-v12)，解得v1′=

6

5

FL 2m

與2碰后，根據(jù)動量守恒定律得，5mv′=6mv₂，解得v2=

5

6

v1′=

FL 2m

A與1、2一起做勻加速直線運動，根據(jù)動能定理得，FL=

1

2

?6m(v2′2-v22)，解得v2′=

5FL 6m

則與第k個碰撞前瞬間速度為v_k-1′，碰后速度為v_k

1

2

(4+k-1)mvk-1′2=

1

2

(4+k-1)v k-12+FL
（4+k-1）mv_k-1′=（4+k）mv_k
vk-1′2=

FL

m

[

49

48

-

1

3

(

1

4

-

6

k+3

)2]
所以

1

4

-

6

k+3

=0
即k=21時，v_m=v20′=

49FL 48m

（2）根據(jù)動量定理得，F(xiàn)t=24mv_m
解得t=

24m

F

vm=14

3mL F

．
答：（1）當運動物體與第21個物體碰撞前的瞬間，運動物體會達到在整個運動過程中的最大速度．最大速度的大小為

49FL 48m

．
（2）從開始運動到最大速度經歷14

3mL F

．

點評：本題考查了動量守恒定律和動能定理以及動量定理的綜合運用，解決本題的難點在于通過動量守恒定律和動能定理得出與第k個物體碰撞前瞬間速度的表達式，從而通過數(shù)學知識進行分析．