Question

20．如圖所示，光滑圓桿MN段豎直，OC段水平且與MN相接于O點(diǎn)，兩桿分別套有質(zhì)量為m的環(huán)A和質(zhì)量為2m的環(huán)B，兩環(huán)的內(nèi)徑比桿的直徑稍大，A、B用長(zhǎng)為2L的輕繩連接，A和O點(diǎn)用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩連接，現(xiàn)讓裝置繞豎直桿MN做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ω=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$時(shí)，OA段繩剛好要斷，AB段繩能承受的拉力足夠大，求：
（1）OA段繩子剛剛拉直時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度多大；
（2）OA段繩能承受的最大拉力為多大；
（3）當(dāng)ω=$\sqrt{\frac{3g}{L}}$且轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)，A向外側(cè)移動(dòng)的距離多大．

Answer 1

分析 （1）OA段繩子剛剛拉直時(shí)，拉力為零，對(duì)B分析，AB繩子豎直方向上的分力等于B的重力，水平方向的分力提供A做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出此時(shí)的角速度．
（2）根據(jù)OA繩恰好拉斷時(shí)的角速度，結(jié)合牛頓第二定律求出最大拉力．
（3）轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)，AB繩豎直方向的分力等于B的重力，水平方向的分力提供A做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出繩子與豎直方向的夾角，結(jié)合幾何關(guān)系求出A向外側(cè)移動(dòng)的距離．

解答 解：（1）當(dāng)OA段繩剛剛拉直時(shí)，對(duì)B分析，在豎直方向上有：
T_ABcosθ=2mg，
${T}_{AB}sinθ=mL{{ω}_{1}}^{2}$，
解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{3L}}$．
（2）根據(jù)牛頓第二定律得：
${T}_{m}+{T}_{AB}sinθ=mL{ω}^{2}$，
解得：T_m=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}mg$．
（3）當(dāng)ω=$\sqrt{\frac{3g}{L}}$且轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)，設(shè)繩子與豎直方向的夾角為α，
則T_AB′cosα=2mg，${T}_{AB}′sinα=m2Lsinα{ω}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：$cosα=\frac{1}{3}$，
則有：sinα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
A向外側(cè)移動(dòng)的距離為：$△x=2L×\frac{2\sqrt{2}}{3}-L=\frac{4\sqrt{2}-3}{3}L$．
答：（1）OA段繩子剛剛拉直時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{3L}}$；
（2）OA段繩能承受的最大拉力為$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}mg$；
（3）當(dāng)ω=$\sqrt{\frac{3g}{L}}$且轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)，A向外側(cè)移動(dòng)的距離為$\frac{4\sqrt{2}-3}{3}L$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道A物體做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解．