Question

18．滑板運(yùn)動是一種陸上的“沖浪運(yùn)動”，滑板運(yùn)動員可在不同的滑坡上滑行，做出各種動作，給人以美的享受，如圖是模擬的滑板組合滑行軌道，該軌道有足夠長的斜直軌道，半徑R₁=1m的凹形圓弧軌道和半徑R₂=2m的凸形圓弧軌道組成，這三部分軌道處于同一豎直平面內(nèi)且依次平滑連接，其中M點(diǎn)為凹形圓弧軌道的最低點(diǎn)，N點(diǎn)為凸形圓弧軌道的最高點(diǎn)，凸形圓弧軌道的圓心O點(diǎn)與M點(diǎn)處在同一水平面上，運(yùn)動員踩著滑板從斜直軌道上的P點(diǎn)無初速度滑下，經(jīng)過M點(diǎn)滑向N點(diǎn)，P點(diǎn)距M點(diǎn)所在水平面的高度h=2.45m，不計一切阻力，運(yùn)動員和滑板的總質(zhì)量為m=50kg，運(yùn)動員和滑板可視為質(zhì)點(diǎn)，g=10m/s²
（1）運(yùn)動員滑到M點(diǎn)時的速度多大？
（2）運(yùn)動員滑到N點(diǎn)時，滑板對軌道的壓力多大？
（3）改變滑板無初速度下滑時距M點(diǎn)所在水平面的高度，求運(yùn)動員恰好從N點(diǎn)水平飛出時，運(yùn)動員的出發(fā)點(diǎn)距M點(diǎn)所在水平面的高度h₁．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)運(yùn)動過程機(jī)械能守恒求解；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒求得在N點(diǎn)的速度，然后根據(jù)牛頓第二定律求解運(yùn)動員受到的支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；
（3）由運(yùn)動員恰好飛出，應(yīng)用牛頓第二定律求得運(yùn)動員速度，然后根據(jù)機(jī)械能守恒求得高度．

解答 解：（1）運(yùn)動員滑動過程中只有重力做功，故機(jī)械能守恒，所以有$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}$，${v}_{M}=\sqrt{2gh}=7m/s$；
（2）運(yùn)動員滑動過程中只有重力做功，故機(jī)械能守恒，所以有$mg（h-{R}_{2}）=\frac{1}{2}m{{v}_{N}}^{2}$；
再對運(yùn)動員在N點(diǎn)進(jìn)行受力分析，應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg-{F}_{N}=\frac{m{{v}_{N}}^{2}}{{R}_{2}}=\frac{2mg（h-{R}_{2}）}{{R}_{2}}$
所以，${F}_{N}=mg-\frac{2mg（h-{R}_{2}）}{{R}_{2}}=275N$；
故由牛頓第三定律可得：運(yùn)動員滑到N點(diǎn)時，滑板對軌道的壓力為275N；
（3）運(yùn)動員恰好從N點(diǎn)水平飛出，那么運(yùn)動員在N點(diǎn)時球面對運(yùn)動員的支持力為零，故有$mg=\frac{m{v}_{N}{′}^{2}}{{R}_{2}}$；
又有運(yùn)動員運(yùn)動過程機(jī)械能守恒，所以有$mg（{h}_{1}-{R}_{2}）=\frac{1}{2}m{v}_{N}{′}^{2}=\frac{1}{2}mg{R}_{2}$
所以，${h}_{1}=\frac{3}{2}{R}_{2}=3m$；
答：（1）運(yùn)動員滑到M點(diǎn)時的速度為7m/s；
（2）運(yùn)動員滑到N點(diǎn)時，滑板對軌道的壓力為275N；
（3）改變滑板無初速度下滑時距M點(diǎn)所在水平面的高度，那么運(yùn)動員恰好從N點(diǎn)水平飛出時，運(yùn)動員的出發(fā)點(diǎn)距M點(diǎn)所在水平面的高度h₁為3m．

點(diǎn)評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解．