Question

14．如圖所示，在y軸左側(cè)的區(qū)域內(nèi)存在方向與x軸同向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E．在y軸右側(cè)以原點(diǎn)O為圓心、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直于xoy平面并指向紙面里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．x軸上的A點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為d．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)．不計(jì)粒子的重力作用
（1）求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r．
（2）要使粒子進(jìn)入磁場(chǎng)之后不再經(jīng)過(guò)y軸，電場(chǎng)強(qiáng)度需大于或等于某個(gè)值E₀，求E₀；
（3）若電場(chǎng)強(qiáng)度E等于第（2）問(wèn)中E₀的$\frac{2}{3}$，求粒子經(jīng)過(guò)y軸時(shí)的位置．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子先在電場(chǎng)中加速后進(jìn)入磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)．根據(jù)動(dòng)能定理求加速獲得的速度，由牛頓第二定律和向心力公式結(jié)合求磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）要使粒子之后恰好不再經(jīng)過(guò)x軸，則離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸平行，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑，由上題結(jié)論求E₀．
（3）若電場(chǎng)強(qiáng)度E等于第（2）問(wèn)E₀的$\frac{2}{3}$，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求經(jīng)過(guò)y軸時(shí)的位置．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做勻加速運(yùn)動(dòng)，
則有：Eq=ma，v²=2ad，
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
則有：$qvB=m\frac{v^2}{r}$，
解得：$r=\frac{{\sqrt{2mqEd}}}{qB}$；
（2）粒子之后恰好不再經(jīng)過(guò)y軸，則粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與y軸平行，
由幾何關(guān)系可得：$r=\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$，解得：${E_0}=\frac{{q{B^2}{R^2}}}{4md}$；
（3）將$E=\frac{2}{3}{E_0}$代入可得磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r′=$\frac{R}{\sqrt{3}}$，
帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，則有：$cosα=\frac{{\frac{R}{2}}}{r^/}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即：α=30°，β=2α=60°，
粒子第一次經(jīng)過(guò)y軸時(shí)的位置坐標(biāo)為：
${y_1}={r^/}+\frac{r^/}{cosβ}$，解得：${y_1}=\sqrt{3}R$，
此后粒子進(jìn)入電場(chǎng)中，做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，
沿y軸方向上又運(yùn)動(dòng)的距離為△y，則有：△y=vsinαt，$vcosα=a\frac{t}{2}$，
解得：$△y=\sqrt{3}d$，則粒子第二次經(jīng)過(guò)y軸時(shí)的位置坐標(biāo)為：${y_2}=\sqrt{3}（R+d）$；
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r為$\frac{\sqrt{2mqEd}}{qB}$．
（2）要使粒子進(jìn)入磁場(chǎng)之后不再經(jīng)過(guò)y軸，電場(chǎng)強(qiáng)度需大于或等于某個(gè)值E₀，E₀為$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$；
（3）若電場(chǎng)強(qiáng)度E等于第（2）問(wèn)中E₀的$\frac{2}{3}$，粒子經(jīng)過(guò)y軸時(shí)的位置為$\sqrt{3}$（R+d）．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的類型，運(yùn)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律和幾何知識(shí)結(jié)合進(jìn)行解決．