Question

一宇航員抵達(dá)一半徑為R的星球兩極的表面后，為了測(cè)定該星球的質(zhì)量M，做如下的實(shí)驗(yàn)，取一根細(xì)線穿過(guò)光滑的細(xì)直管，細(xì)線一端栓一質(zhì)量為m的砝碼，另一端連在一固定的測(cè)力計(jì)上，手握細(xì)線直管掄動(dòng)砝碼，使它在豎直平面內(nèi)做半徑為L(zhǎng)的完整的圓周運(yùn)動(dòng)，停止掄動(dòng)細(xì)直管，砝碼可繼續(xù)在同一豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，且砝碼恰能通過(guò)圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，如圖所示．此時(shí)觀察得到當(dāng)砝碼運(yùn)動(dòng)到圓周最高點(diǎn)位置時(shí)，砝碼的速度為v．
已知引力常量為G，試根據(jù)題中所提供的條件和測(cè)量結(jié)果，求：
（1）該星球表面重力加速度；
（2）該星球的質(zhì)量M；
（3）若將物體置于該星體的赤道處，發(fā)現(xiàn)它對(duì)地面的壓力比在兩極處時(shí)物體對(duì)地面的壓力小10%，求該星體自轉(zhuǎn)周期．

Answer 1

（1）若砝碼恰能通過(guò)圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，則此時(shí)繩上作用力為零，物體所受重力提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力得：
mg=m

v2

L

代入數(shù)據(jù)得：星球表面的重力加速度g=

v2

L

（2）由于星球圍繞地軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故在兩極處有G=F_萬(wàn)則有：
mg=G

mM

R2

∴M=

gR2

G

=

v2R2

GL

（3）在兩極處，由于地轉(zhuǎn)半徑為零，物體對(duì)地面的壓力大小等于物體受到的萬(wàn)有引力，故在赤道處物體對(duì)地面的壓力為兩極處小10%，即物體受到地面的支持力為萬(wàn)有引力的90%．
又物體受到星球的萬(wàn)有引力和地面支持力的合力提供物體隨星球自轉(zhuǎn)的向心力，故有：
G

Mm

R2

(1-0.90)=mR(

2π

T

)2
T=2π

10R3 GM

代入M=

v2R2

GL

得T=2π

10RL v2

答：（1）該星球表面的重力加速度為g=

v2

L

（2）該星球的質(zhì)量為M=

v2R2

GL

（3）該星球的自轉(zhuǎn)周期為T(mén)=2π

10RL v2