Question

(12分)⑴開普勒行星運動第三定律指出：行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即＝k，k是一個對所有行星都相同的常量，將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，請你推導(dǎo)出太陽系中該常量k的表達式；(已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為。)
⑵開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)(如地月系統(tǒng))都成立，經(jīng)測定月地距離為3.84×10⁸m，月球繞地球運動的周期為2.36×10⁶s，試計算地球的質(zhì)量。(引力常量為G＝6.67×10^－11N·m²/kg²，結(jié)果保留一位有效數(shù)字。)

Answer 1

⑴k＝；⑵＝6×10²⁴kg

解析試題分析：⑴設(shè)行星的質(zhì)量為m，因行星繞太陽做圓周運動，于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：＝
解得：＝，即k＝
⑵在地月系統(tǒng)中，設(shè)月球繞地球運動的軌道半徑為r′，周期為T′，由⑴中分析可知：＝
解得：＝＝6×10²⁴kg
考點：本題主要考查了對開普勒行星運動定律和萬有引力定律的理解與應(yīng)用問題，屬于中檔偏低題。