Question

如圖所示圓柱形屋頂中心的天花板上的O點(diǎn)，掛一根長L=2m的細(xì)繩，掛一個(gè)m=0.8kg的小球，繩承受的最大拉力為10N，小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，速度逐漸增大到繩被拉斷后，小球恰以E_k=7.2J的動(dòng)能落在墻角，求這個(gè)圓柱形房屋的高度H和半徑R．（g=10m/s²）

Answer 1

分析：先對(duì)小球受力分析，受重力和拉力，合力水平，提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求解出繩子與豎直方向的夾角；小球在繩子斷開后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)求出下落的高度，根據(jù)幾何關(guān)系即可求得H，根據(jù)向心力公式求出繩斷時(shí)的速度，進(jìn)而求出水平位移，再根據(jù)幾何關(guān)系可求R．

解答：解：如圖（1）所示，取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，設(shè)繩剛要斷裂時(shí)細(xì)繩的拉力大小為T，繩與豎直方向夾角為α，則在豎直方向有：Fcosα=mg
故cosθ=

mg

T

=0.8，所以有：θ=37°
球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：r=Lsin37°=2×0.6m=1.2m，
O、O′間的距離為：OO′=Lcos37°=1.6m，
則O′、O″間的距離為：O′O″=H-OO′=H-1.6m．
由牛頓第二定律知：Tsinθ=m

v 2 A

r

解得：v_A=

Trsinθ m

=3m/s
設(shè)在A點(diǎn)繩斷，細(xì)繩斷裂后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，落在墻邊C處．
設(shè)A點(diǎn)在地面上的投影為B，如答圖（2）所示．
小球恰以E_k=7.2J的動(dòng)能落在墻角，故落地速度為：v=

2Ek m

=

2×7.2 0.8

=3

2

m/s
由運(yùn)動(dòng)的合成可知：v²=v_A²+（gt）²，
由此可得小球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=

v2- v 2 A

g

=0.3s             
由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知小球在豎置方向上的位移為：s_y=

1

2

gt²=H-1.6m，
所以屋的高度為：H=

1

2

gt²+1.6m=

1

2

×10×0.3²m+1.6m=2.05m，
小球在水平方向上的位移為：s_x=BC=v_At=3×0.3=0.9m
由圖可知，圓柱形屋的半徑為：R=

r2+(BC)2

=1.5m
答：這個(gè)圓柱形屋頂?shù)母叨菻為2.05m，半徑R為1.5m．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式及向心力公式的應(yīng)用，要求同學(xué)們能畫出小球運(yùn)動(dòng)的軌跡，能結(jié)合幾何關(guān)系解題，難度適中．