Question

如圖所示，在空間中存在垂直紙面向里的場強(qiáng)為B勻強(qiáng)磁場，其邊界AB、CD的寬度為d，在左邊界的Q點(diǎn)處有一質(zhì)量為m，帶電量為負(fù)q的粒子沿與左邊界成30°的方向射入磁場，粒子重力不計(jì)．求：
（1）帶電粒子能從AB邊界飛出的最大速度？
（2）若帶電粒子能垂直CD邊界飛出磁場，穿過小孔進(jìn)入如圖所示的勻強(qiáng)電場中減速至零且不碰到負(fù)極板，則極板間電壓及整個過程中粒子在磁場中運(yùn)動的時間？
（3）若帶電粒子的速度是（2）中的

3

倍，并可以從Q點(diǎn)沿紙面各個方向射入磁場，則粒子能打到CD邊界的范圍？

Answer 1

分析：（1）先作出粒子運(yùn)動的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子能從左邊界射出時臨界情況的軌道半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力公式即可求解最大速度；
（2）根據(jù)幾何知識求磁場中軌跡半徑，由動能定理求極板間電壓．
帶電粒子能垂直CD邊界飛出磁場，穿過小孔進(jìn)入勻強(qiáng)電場中減速至零，然后由靜止返回做勻加速運(yùn)動，再進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動，畫出軌跡，確定磁場中運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角，求出通過磁場的時間．
（3）若帶電粒子的速度是（2）中的

3

倍，求出軌跡半徑，畫出軌跡，由幾何知識求粒子能打到CD邊界的范圍．

解答：解：（1）粒子能從左邊界射出，臨界情況是軌跡與磁場右邊界相切，粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，則有 R+Rcos30°=d
由Bqv=m

v2

R

得 v=

Bqd

m(1+cos30°)

=

2(2- 3 )Bqd

m

所以粒子能從左邊界射出速度應(yīng)滿足v≤

2(2- 3 )Bqd

m

．

（2）粒子能從右邊界射出，由幾何知識得R=

d

cos30°

由Bqv2=m

v 2 2

R

和

1

2

m

v

2 2

=qU
解得  U=

B2qd2

2mcos230°

=

2B2qd2

3m

故粒子不碰到右極板所加電壓滿足的條件　　U≥

2B2qd2

3m

因粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為60°，所用時間為

T

6

，而T=

2πm

Bq

因返回通過磁場所用時間相同，所以總時間　t=2×

T

6

=

2πm

3Bq

（3）當(dāng)粒子速度為是（2）中的

3

倍時   解得 R′=2d粒子，如圖
由幾何關(guān)系可得l=2×2dcos30°=2

3

d
答：
（1）帶電粒子能從AB邊界飛出的最大速度為

2(2- 3 )Bqd

m

．
（2）極板間電壓為

2B2qd2

3m

，整個過程中粒子在磁場中運(yùn)動的時間為

2πm

3qB

．
（3）粒子能打到CD邊界的范圍為2

3

d．

點(diǎn)評：帶電粒子在磁場中的運(yùn)動要把握其運(yùn)動規(guī)律，在磁場中要注意找出相應(yīng)的幾何關(guān)系，從而確定圓心和半徑，畫出運(yùn)動軌跡，難度適中．