Question

如圖所示，光滑均勻球重為G，半徑為R，輕板OA長為L，一端用鉸鏈與豎直墻相連于O點，板可繞軸在豎直平面內自由轉動，板重可不計，板的A端用一水平細繩AB與墻相連，此時板與豎直墻間的夾角為θ，接觸處的摩擦均可不計，如果這一系統(tǒng)保持平衡．試問：
（1）豎直墻和輕板對球的彈力分別多大？
（2）細繩對板的拉力F多大？
（3）當θ取何值時，力F有最小值，此最小值多大？

Answer 1

分析：（1）對球受力分析，受重力、擋板支持力N₁和墻壁的支持力N₂，根據平衡條件列式求解；
（2）以O為支點，對桿有運用力矩平衡條件列式求解；
（3）對拉力F的表達式進行分析，得到拉力的最小值和對應的角度．

解答：解：（1）對球受力分析，受重力、擋板支持力N₁和墻壁的支持力N₂，如圖所示：

根據平衡條件，有：
N₁=

G

sinθ

            ①
N₂=Gcotθ           ②
（2）以O為支點，桿受球的壓力和細線的拉力，根據力矩平衡條件，有：
F?Lcosθ=N₁?R?cot

θ

2

    ③
由①③聯立解得：F=

GR

Lcosθ(1-cosθ)

     ④
（3）由④式，當cosθ=1-cosθ，即θ=60°時，拉力F有最小值，為

4GR

L

；
答：（1）豎直墻對球的彈力為Gcotθ，輕板對球彈力為

G

sinθ

；
（2）細繩對板的拉力F為

GR

Lcosθ(1-cosθ)

；
（3）當θ取60°時，力F有最小值，此最小值為

4GR

L

．

點評：本題關鍵是根據共點力平衡條件和力矩平衡條件列式求解，對應極值問題，關鍵是要根據數學中的表達式知識求解．