Question

5．如圖，傾角為θ=37°（sin37°=0.6，cos37°=0.8）的兩根足夠長的平行、無電阻的金屬導(dǎo)軌上端固定連接一個阻值R=0.4Ω的電阻，導(dǎo)軌間的距離L=1m．導(dǎo)軌所在的斜面上存在著兩個緊緊挨著的勻強(qiáng)有界磁場B₁=0.4T和B₂=0.3T，其方向分別垂直于斜面向下和向上，其中B₁、B₂的區(qū)域都足夠長．一根電阻r=0.1Ω的、m=0.5kg、長度也等于L=1m的金屬棒垂直放在導(dǎo)軌上B₁區(qū)域的上邊界處，與導(dǎo)軌接觸良好，并以某一初速度V₀（V₀未知）進(jìn)入B₁區(qū)域，達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動狀態(tài)后，最終進(jìn)入B₂區(qū)域繼續(xù)運(yùn)動，并也達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動狀態(tài)．已知運(yùn)動過程中，金屬棒始終保持與導(dǎo)軌垂直接觸，一直沿著導(dǎo)軌運(yùn)動，且在B₁區(qū)域中金屬棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.5，在B₂區(qū)域中金屬棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.25．已知金屬棒在B₂區(qū)域中的某一位置的速度大小也為V₀，且此時它的加速度大小與剛進(jìn)入B₁區(qū)域時的加速度大小相同．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）金屬棒在磁場中的最小速度．
（2）金屬棒在磁場中的最大速度．
（3）V₀的大�。�

Answer 1

分析 金屬棒在磁場中受力平衡時具有最大速度或者最小速度；
根據(jù)金屬棒在B₂區(qū)域中的某一位置的加速度與剛進(jìn)入B₁區(qū)域時的加速度大小相同列方程求解加速度．

解答 解：（1）在B₁區(qū)域處于平衡狀態(tài)時：
mgsinθ-μ₁mgcosθ-B₁I₁L=0
B₁LV=I（R+r）
聯(lián)立得：V=$\frac{25}{8}$m/s
在B₂區(qū)域處于平衡狀態(tài)時：
mgsinθ-μ₂mgcosθ-B₂I₂L=0
B₂LV′=I₂（R+r）
聯(lián)立的：V′=$\frac{100}{9}$m/s
V＜V′
可見金屬棒在磁場中的最小速度為$\frac{25}{8}$m/s，
金屬棒在磁場中的最大速度為$\frac{100}{9}$m/s．
（3）由上面分析知金屬棒剛進(jìn)入磁場時做減速運(yùn)動，則根據(jù)牛頓第二定律，剛進(jìn)入B₁區(qū)域時：
μ₁mgcosθ+BI₁L-mgsinθ=ma₁
I₁=$\frac{BL{V}_{0}}{R+r}$
聯(lián)立得：a₁=μ₁gcos37°+$\frac{{{B}_{1}}^{2}{L}^{2}{V}_{0}}{m（R+r）}$-gsin37°
金屬棒在B₂區(qū)域中的某一位置的速度大小也為V₀，同理根據(jù)牛頓第二定律可得：
a₂=gsin37°-μ₂gcos37°-$\frac{{{B}_{2}}^{2}{L}^{2}{V}_{0}}{m（R+r）}$
由題意：μ₁gcos37°+$\frac{{{B}_{1}}^{2}{L}^{2}{V}_{0}}{m（R+r）}$-gsin37°=gsin37°-μ₂gcos37°-$\frac{{{B}_{2}}^{2}{L}^{2}{V}_{0}}{m（R+r）}$
得：$\frac{0.25{V}_{0}}{0.25}$=12-2-4
V₀=6m/s
答：（1）金屬棒在磁場中的最小速度$\frac{25}{8}m/s$；
（2）金屬棒在磁場中的最大速度$\frac{100}{9}m/s$；
（3）V₀的大小為6m/s．

點(diǎn)評 本題考查了求加速度與速度問題，分析清楚金屬棒的運(yùn)動過程、應(yīng)用牛頓第二定律、安培力公式、平衡條件即可正確解題．