Question

18．輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5.4m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為l．將該彈簧沿斜面放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物體P接觸但不連接．圖中AB是長(zhǎng)度為3l、傾角為37°的粗糙軌道，B端與半徑為l的光滑圓軌道BCD相切，C的切線沿豎直方向，D的切線沿水平方向，用外力推動(dòng)物塊P，使彈簧被壓縮到最短，已知P與AB軌道間動(dòng)摩擦因數(shù)為u=0.25，重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計(jì)空氣阻力．
（1）若P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力；
（2）若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P質(zhì)量的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)能量守恒定律求出物體到達(dá)D點(diǎn)的速度．在D點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求軌道對(duì)物體的壓力，從而得到物體對(duì)軌道的壓力．
（2）P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，有兩個(gè)臨界情況：一是恰好到達(dá)B點(diǎn)的速度為零．二是恰好到達(dá)C點(diǎn)的速度為零，結(jié)合能量守恒定律求解．

解答 解：（1）根據(jù)能量守恒定律有，彈簧壓縮至最短時(shí)彈性勢(shì)能為：E_p=5.4mgl
物體被彈簧彈出到D點(diǎn)的過程中，有：E_p-μmgcosθ•2l-mg（2lsin37°+l+lsin53°）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：N+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{l}$
聯(lián)立解得：N=3mg
根據(jù)牛頓第三定律得，P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力為：N′=N=3mg
（2）物體P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，兩個(gè)臨界條件：
①恰好滑到B點(diǎn)，速度為零．則有：E_p=μMgcosθ•2l+Mg•2lsin37°
解得：M=$\frac{27}{8}$m
②恰好滑到C點(diǎn)，速度為零．則有：E_p=μMgcosθ•2l+Mg（2lsin37°+lsin53°）
解得：M=2.25m
所以P質(zhì)量的取值范圍為：2.25m≤M≤$\frac{27}{8}$m
答：（1）若P的質(zhì)量為m，P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力是3mg；
（2）若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，P質(zhì)量的取值范圍為 2.25m≤M≤$\frac{27}{8}$m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題時(shí)要抓住彈簧的形變量相等時(shí)彈性勢(shì)能相等這一隱含的條件，正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化．對(duì)于范圍問題，往往要分析臨界情況，抓住臨界條件研究．