Question

20．如圖所示的xOy平面內(nèi)，y軸左側(cè)存在著沿x軸正方向、大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，右側(cè)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，從負(fù)x軸上的P沿y軸正方向射入電場(chǎng)，后經(jīng)y軸上的O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小為v，方向與y軸正方向夾角為30°，一段時(shí)間后粒子可以再次經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)，不計(jì)粒子重力．求：
（1）P點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離x；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；
（3）粒子從第一次經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)到第二次經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）從P點(diǎn)到Q點(diǎn)粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由于已知末速度的大小和方向、粒子的加速度，則由速度的合成可以求出水平的末速度，從而求出P點(diǎn)離O點(diǎn)的距離．
（2）由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，先考慮只在電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)一次的情況，由進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方向確定圓心的位置和半徑，由洛侖茲力提供向心力可以求得此種情況下的磁感應(yīng)強(qiáng)度．當(dāng)然難度比較大的是粒子在磁場(chǎng)中多次做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的情況：找到粒子先后兩次進(jìn)入電場(chǎng)的兩點(diǎn)Q₁、Q₂的距離與半徑和Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的半徑，若有nQ₁Q₂=r，則粒子又一次從Q點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)．
（3）按以上情況進(jìn)行考慮，分別求出電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的時(shí)間，相加得到總時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在y軸方向做勻速運(yùn)動(dòng)，x軸方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a，
  則有
  v_x=vsin30°                                                          
  qE=ma                                                             
  v_x²=2ax                                                             
  解得x=$\frac{m{v}^{2}}{8qE}$                                                         
（2）粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為r，有
   qvB=$m\frac{{v}^{2}}{r}$
   得r=$\frac{mv}{qB}$                                                           
   設(shè)OQ間距離為y，分兩種情況討論：
       若粒子再次到達(dá)Q點(diǎn)前有經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，則其軌跡如圖a，粒子從P點(diǎn)到Q時(shí)間為t₁
       則y=vcos30°•t₁                                  
       vsin30°=a t₁                                     
       解得y=$\frac{\sqrt{3}m{v}^{2}}{4qE}$                            
      由幾何關(guān)系得y=$\frac{r}{2}$                                
      解得 B₁=$\frac{2E}{\sqrt{3}v}$                                    
    ②若粒子再次到達(dá)Q點(diǎn)前沒(méi)有經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，在磁場(chǎng)中又重復(fù)n次周期性運(yùn)動(dòng)后才
       再次經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)，則其軌跡如圖b，Q₁、Q₂分別為粒子第一次和第二次從
       場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)軌跡和y軸的交點(diǎn)，則有
         Q₁Q₂=2y-r                                                        
         Q₁Q=nQ₁Q₂  （n=1、2、3、…）                                     
         又  QQ₁=r                                                        
        得r=$\frac{n}{n+1}$2y
       解得B₂=$\frac{2（n+1）E}{n\sqrt{3}v}$  （n=1，2，3，…）                              
（3）粒子在電場(chǎng)中從P到Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁=$\frac{y}{vcos30°}$=$\frac{mv}{2qE}$   
   粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角θ=$\frac{5}{3}π$                      
   從進(jìn)入磁場(chǎng)到離開(kāi)磁場(chǎng)的時(shí)間t₂=$\frac{θ}{2π}$T                  
    其中，T=$\frac{2πm}{qB}$                                      
   分兩種情況：
  ①若粒子到達(dá)Q前有經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，則t=2t₁+t₂=（6+5$\sqrt{3}$π） $\frac{mv}{6qE}$               
  ②若粒子到達(dá)Q前沒(méi)有經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，則
   t′=n（2t₁+t₂）+t₂=（6+5$\sqrt{3}$π）$\frac{nmv}{6qE}$（n=1、2、3、…）                    
答：（1）P點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離x為$\frac{m{v}^{2}}{8qE}$．
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B為$\frac{2E}{\sqrt{3}v}$或$\frac{2（n+1）E}{n\sqrt{3}v}$（n=1，2，3，…）．
（3）粒子從第一次經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)到第二次經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的時(shí)間為（6+5$\sqrt{3}$π）$\frac{mv}{6qE}$或（6+5$\sqrt{3}$π）$\frac{nmv}{6qE}$（n=1、2、3、…）

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在于第二問(wèn)和第三問(wèn)的多解情況，粒子有可能在磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)多次后才從Q點(diǎn)經(jīng)過(guò)，這里可以從第一次和第二次從y軸經(jīng)過(guò)位置關(guān)系入手，找到該兩點(diǎn)位置與粒子半徑和Q點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再利用運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)規(guī)律就能得到結(jié)論．