Question

如圖所示，兩金屬桿AB和CD長(zhǎng)均為L(zhǎng)，電阻均為R，質(zhì)量分別為3m和m．用兩根質(zhì)量和電阻均可忽略的不可伸長(zhǎng)的柔軟導(dǎo)線將它們連成閉合回路，并懸掛在水平、光滑、不導(dǎo)電的圓棒兩側(cè)．在金屬桿AB下方距離為h處有高度為H（H＞h）勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向與回路平面垂直，此時(shí)，CD剛好處于磁場(chǎng)的下邊界．現(xiàn)從靜止開始釋放金屬桿AB，經(jīng)過一段時(shí)間下落到磁場(chǎng)的上邊界，加速度恰好為零，此后便進(jìn)入磁場(chǎng)．求金屬桿AB
（1）進(jìn)入磁場(chǎng)前流過的電量；
（2）釋放瞬間每根導(dǎo)線的拉力；
（3）穿過磁場(chǎng)區(qū)域的過程，回路中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）AB進(jìn)入磁場(chǎng)前，CD棒切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律求解流過AB桿的電量；
（2）釋放瞬間，CD沒有速度，電路中沒有感應(yīng)電流產(chǎn)生，CD不受安培力作用，根據(jù)牛頓第二定律分別對(duì)兩棒進(jìn)行研究，求解拉力；
（3）AB棒達(dá)到磁場(chǎng)邊界時(shí)，加速度為零，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，由平衡條件和安培力公式求出此時(shí)兩棒的運(yùn)動(dòng)速率．AB棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，也切割感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)增大，系統(tǒng)受到安培力（阻力）突然增加，系統(tǒng)做加速度不斷減小的減速運(yùn)動(dòng)，有三種可能：一是系統(tǒng)減速到某一值時(shí)，AB棒到磁場(chǎng)下邊界的距離h，CD棒開始出磁場(chǎng)．二是系統(tǒng)剛好達(dá)到新的平衡點(diǎn)時(shí)，AB棒到磁場(chǎng)下邊界的距離h，CD棒開始出磁場(chǎng)．三是系統(tǒng)達(dá)平衡后，勻速一段時(shí)間，AB棒到磁場(chǎng)下邊界的距離h，CD棒開始出磁場(chǎng)． 根據(jù)系統(tǒng)克服安培力做功等于機(jī)械能的減小，即可求出熱量．

解答：解：（1）AB向下運(yùn)動(dòng)過程中，CD棒切割產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)  E=

△φ

△t

流過AB桿的電量 q=I△t=

E

2R

△t=

△φ

2R

=

BLh

2R

（2）根據(jù)牛頓第二定律得
 對(duì)AB棒：3mg-2T=3ma
 對(duì)CD棒：2T-mg=ma
聯(lián)立解得，T=

3

4

mg
（3）AB棒達(dá)到磁場(chǎng)邊界時(shí)，加速度為零，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)．
對(duì)AB棒分析有 3mg=2T'．
對(duì)CD棒分析2T'=mg+BIL 即 2T′=mg+

B 2L2υ1

2R

解得，此時(shí)兩棒的運(yùn)動(dòng)速率  υ1=

4mgR

B2L2

此后AB棒進(jìn)入磁場(chǎng)，系統(tǒng)受到安培力（阻力）突然增加，系統(tǒng)做加速度不斷減小的減速運(yùn)動(dòng)，有三種可能：
一是系統(tǒng)減速到某一值（υ2＞

mgR

B2L2

）時(shí)，AB棒到磁場(chǎng)下邊界的距離h，CD棒開始出磁場(chǎng)．                                                     
二是系統(tǒng)剛好達(dá)到新的平衡點(diǎn)（υ2=

mgR

B2L2

）時(shí)，AB棒到磁場(chǎng)下邊界的距離h，CD棒開始出磁場(chǎng)．                                                
三是系統(tǒng)達(dá)平衡后，以υ2=

mgR

B2L2

的速度勻速一段時(shí)間，AB棒到磁場(chǎng)下邊界的距離h，CD棒開始出磁場(chǎng)．                                              
當(dāng)AB棒以υ2≥

mgR

B2L2

做變加速運(yùn)動(dòng)，速度增加到υ3=

4mgR

B2L2

時(shí)，系統(tǒng)再次達(dá)到平衡狀態(tài)，此后 AB勻速一段距離到達(dá)磁場(chǎng)的下邊界．           　　　  
根據(jù)能量守恒可知，回路中產(chǎn)生的焦耳熱等于系統(tǒng)機(jī)械能的減小，則得回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q=3mgH-mgH=2mgH．
答：（1）進(jìn)入磁場(chǎng)前流過的電量是

BLh

2R

；
（2）釋放瞬間每根導(dǎo)線的拉力是

3

4

mg；
（3）穿過磁場(chǎng)區(qū)域的過程，回路中產(chǎn)生的焦耳熱是2mgH．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)與力平衡知識(shí)、牛頓運(yùn)動(dòng)定律和能量守恒的綜合，對(duì)于感應(yīng)電荷量，常用q=

△Φ

R

求解．對(duì)于熱量，往往根據(jù)能量守恒研究．