Question

3．如圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內有一原長為R、下端固定的輕質彈簧．投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上段放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．設質量為m的魚餌到達管口C時，對管壁的作用力恰好為零．不計魚餌在運動過程中的機械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能．已知重力加速度為g．求：
（1）質量為m的魚餌到達管口C時的速度大小v₁；
（2）彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能E_p；
（3）求魚餌剛落水面時的速度．

Answer 1

分析 （1）魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，有牛頓第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不計魚餌在運動過程中的機械能損失，所以魚餌增加的機械能都是彈簧做功的結果，由功能關系知道彈簧具有的彈性勢能等于魚餌增加的機械能．
（3）魚餌從彈出到落到水平面上的過程中，根據機械能守恒定律求解．

解答 解：（1）質量為m的魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，則有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{gR}$
（2）彈簧的彈性勢能全部轉化為魚餌的機械能，由機械能守恒定律，有：${E}_{p}=mg（1.5R+R）+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：E_p=3mgR
（3）魚餌從管口射后過程，根據機械能守恒，有：$\frac{1}{2}m{v_1}^2+mg（R+2R+1.5R）=\frac{1}{2}m{v_2}^2$
解得：${v_2}=\sqrt{10gR}$
豎直分速度：${v}_{y}=\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}=3\sqrt{gR}$，與水面的夾角的正切值為tanθ=3；
答：（1）質量為m的魚餌到達管口C時的速度大小為$\sqrt{gR}$；
（2）彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能為3mgR；
（3）魚餌剛落水面時的速度為$\sqrt{10gR}$，與水面的夾角的正切值為3．

點評 本題考查了圓周運動最高點的動力學方程、動能定理以及機械能守恒定律的應用，知道彈簧的彈力做的功等于彈簧具有的彈性勢能，難度適中．