Question

一個(gè)初速度為零的帶正電粒子從M板開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過MN兩平行板間的電場(chǎng)加速后，從N板上的孔射入長(zhǎng)方形abcd區(qū)域，如圖所示．當(dāng)帶電粒子到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，長(zhǎng)方形abcd區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)大小不變、方向垂直于紙面且方向交替變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.4T，每經(jīng)過t=（π/4）×10^-3 s，磁場(chǎng)方向變化一次，粒子到達(dá)P點(diǎn)時(shí)磁場(chǎng)方向恰指向紙外，在Q處有一個(gè)靜止的中性粒子，P、Q間距離PQ=3m，直線PQ垂直平分ab、cd．已知c、d相距D=1.5m，帶電粒子的比荷 q/m=1.0×10⁴C/kg，重力不計(jì)，求：
（1）如果加速電壓U=200V，帶電粒子能否與中性粒子碰撞？
（2）在答卷的圖中畫出U=200V時(shí)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡．
（3）能使帶電粒子與中性粒子碰撞，加速電壓的最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，推導(dǎo)出周期公式，并由動(dòng)能定理求出速度，最后由半徑公式來確定能否與中性粒子碰撞；
（2）根據(jù)左手定則，及幾何關(guān)系，結(jié)合力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，來確定運(yùn)動(dòng)軌跡；
（3）根據(jù)長(zhǎng)度的關(guān)系，來確定相碰條件，從而求得最小半徑，由半徑公式與動(dòng)能定理，共同求出加速電壓．

解答：解：設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，周期為T
（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，得周期公式，T=

2πm

Bq

代入數(shù)據(jù)，解得：T=

π

2

×10-3s
T恰好等于磁場(chǎng)變化周期的兩倍，從P點(diǎn)起，磁場(chǎng)改變一次方向，
粒子恰好運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周．
由動(dòng)能定理得：qU=

1

2

mv²
R=

mv

Bq

   
故　R=

2Um qB2

 代入數(shù)據(jù)，
解得：R=0.5m　
PQ=3m=6R，為半徑的偶數(shù)倍，顯然帶電粒子能與中性粒子相碰　
（2）軌跡如圖
（3）相碰條件：PQ=2nR（n為正整數(shù)），且R≤

1

2

D，
即2nR=3m，R≤0.75m
n取最小值，則n=2
所以R′=0.75m 
由R′=

mv′

Bq

，qUm_max=

1

2

mv′²，
代人數(shù)據(jù)，算得 U _rnax=450V
答：（1）如果加速電壓U=200V，帶電粒子能與中性粒子碰撞；
（2）在答卷的圖中畫出U=200V時(shí)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如右圖．
（3）能使帶電粒子與中性粒子碰撞，加速電壓的最大值是450V．

點(diǎn)評(píng)：考查粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，推導(dǎo)出的半徑與周期公式，并掌握動(dòng)能定理在此應(yīng)用，同時(shí)還掌握幾何關(guān)系的運(yùn)用．