Question

12．如果把水星和金星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從水星與金星在一條直線上開(kāi)始計(jì)時(shí)，如圖所示．若天文學(xué)家測(cè)得在相同時(shí)間t內(nèi)水星轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ₁；金星轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ₂（θ₁、θ₂均為銳角），且已知水星離太陽(yáng)表面的高度和太陽(yáng)的半徑之比為k，則由此條件可求得（　　）

• A． 水星和金星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期之比
• B． 水星和金星的密度之比
• C． 水星和金星的動(dòng)能之比
• D． 太陽(yáng)的密度

Answer 1

分析 由$ω=\frac{θ}{t}$可知轉(zhuǎn)過(guò)的角度之比角速度之比，又可求得周期之比；設(shè)出太陽(yáng)的半徑為R，則水星的軌道半徑為（k+1）R，由萬(wàn)有引力等于向心力求得太陽(yáng)的質(zhì)量的表達(dá)式，再除以太陽(yáng)的體積可得密度．

解答 解：A、由$ω=\frac{θ}{t}$可知轉(zhuǎn)過(guò)的角度之比即為角速度之比，再由T=$\frac{2π}{ω}$可得周期之比，故A正確
BC、運(yùn)轉(zhuǎn)半徑及涉及運(yùn)動(dòng)快慢的物理量與繞行天體的質(zhì)量，密度無(wú)關(guān)，故BC錯(cuò)誤
D、設(shè)太陽(yáng)的半徑為R，水星的軌道半徑為（K+1）R，由萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（K+1）^{2}{R}^{2}}$=m（K+1）R$（\frac{{θ}_{1}}{t}）^{2}$
得太陽(yáng)的質(zhì)量M=$\frac{（K+1）^{3}{R}^{3}{θ}_{1}^{2}}{G{t}^{2}}$，太陽(yáng)的體積V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，則$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{3（K+1）^{3}{θ}_{1}^{2}}{4G{t}^{2}π}$，故D正確
故選：AD

點(diǎn)評(píng) 行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們受到的萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，由萬(wàn)有引力定律結(jié)合牛頓第二定律列式求中心天體的質(zhì)量，然后由密度公式求出密度．