Question

水平固定的光滑U型金屬框架寬為L(zhǎng)，足夠長(zhǎng)，其上放一質(zhì)量為m的金屬棒ab，左端連接有一阻值為R的電阻（金屬框架、金屬棒及導(dǎo)線的電阻均可忽略不計(jì)），整個(gè)裝置處在向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．現(xiàn)給棒一個(gè)初速v₀，使棒始終垂直框架并沿框架運(yùn)動(dòng)，
（1）金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的過(guò)程中求通過(guò)電阻R的電量和電阻R中產(chǎn)生的熱量
（2）金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的過(guò)程中求棒通過(guò)的位移
（3）如果將U型金屬框架左端的電阻R換為一電容為C的電容器，其他條件不變，如圖所示．求金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)電容器的帶電量和電容器所儲(chǔ)存的能量（不計(jì)電路向外輻射的能量）

Answer 1

分析：（1）由動(dòng)量定理和Q=It求解通過(guò)電阻的電荷量，由能量守恒定律求產(chǎn)生的熱量；
（2）由通過(guò)的電荷量q=It，I=

. E

R

，

.

E

=

△?

△t

=

B△S

△t

=

BLs

△t

的關(guān)系進(jìn)行求解．
（3）有電容的定義式C=

Q

u

和動(dòng)量定理聯(lián)立求解．

解答：解：（1）由動(dòng)量定理得：-

.

F

t=0-mv0
即：-

.

I

LB?t=0-mv0
q=It
所以q=

mv0

BL

由能量守恒定律得：
Q=

1

2

mv02
（2）

.

E

=

△?

△t

=

B△S

△t

=

BLs

△t

q=

.

I

△t=

. E

R

△t=

BLs

R

所以有：s=

qR

BL

=

mv0R

B2L2

（3）當(dāng)金屬棒ab做切割磁力線運(yùn)動(dòng)時(shí)，要產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，這時(shí)電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當(dāng)ab棒以穩(wěn)定速度v勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，電容兩端電壓等于電動(dòng)勢(shì)即：
BLv=U_C…①
U_C=

QC

C

…②
而對(duì)導(dǎo)體棒ab利用動(dòng)量定理可得：
-BLQ_c=mv-mv₀ …③
由①②③式聯(lián)立可求得：
v=

mv0

m+B2L2C

Qc=CBLv=

CBLmv0

m+B2L2C

Ec= 1 2 mv02- 1 2 mv2= 1 2 mv02- 1 2 m( mv0 m+B2L2C )2

1

2

mv02-

1

2

m(

mv0

m+B2L2C

)2
答：（1）金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的過(guò)程中求通過(guò)電阻R的電量為

mv0

BL

和電阻R中產(chǎn)生的熱量為

1

2

mv02；
（2）金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的過(guò)程中求棒通過(guò)的位移為

mv0R

B2L2

；
（3）如果將U型金屬框架左端的電阻R換為一電容為C的電容器，金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)電容器的帶電量為

CBLmv0

m+B2L2C

和電容器所儲(chǔ)存的能量為

1

2

mv02-

1

2

m(

mv0

m+B2L2C

)2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查動(dòng)量定理和能量守恒在電磁學(xué)中的應(yīng)用，注意電路分析及E=BLv和C=

Q

U

的應(yīng)用，難度相對(duì)比較大些．