Question

1．如圖所示，在真空玻璃管中裝有熱陰極K和帶有小孔的陽極A．在A、K之間加上電壓U后，不斷地有質量為m、電量為e的電子從陰極K由靜止加速到達陽極A，并從小孔射出．接著電子進入平行板電容器C，電容器兩極板間距為d，板長為$\frac{L}{4}$，兩極板間加上交變電壓U′=U₀sinωt（電子在兩極板間運動時間很短且都可以從兩極板間射出），使不同時刻通過的電子發(fā)生不同程度的偏轉；電容器C和熒光屏S之間有一無場區(qū)和一水平向右的勻強磁場區(qū)，寬度都為L，電子經過磁場后打在熒光屏上．
（1）求電子經過電容器和磁場區(qū)域的時間之比；
（2）若熒光屏上呈現(xiàn)一條直線亮斑，磁感應強度B的大小應滿足的條件是什么？
（3）求（2）中熒光屏上所呈現(xiàn)直線亮斑的長度是多小？

Answer 1

分析 （1）電子在加速電場中加速，在偏轉電場中做類平拋運動，在無場區(qū)域做勻速直線運動，在磁場區(qū)域做螺旋線運動，應用運動學公式求出電子的運動時間之比．
（2）在熒光屏上呈現(xiàn)一條亮線，電子在磁場中的運動時間應該是電子做圓周運動周期的整數倍，據此求出磁感應強度．
（3）求出電子在偏轉電場中的偏移量，在無場區(qū)域在豎直方向的位移，然后求出直線亮斑的長度．

解答 解：（1）電子在兩極板間運動時間很短，可以認為電子在兩極板運動時極板間的電場強度不變，
電子在偏轉電場中做類平拋運動，電子在水平方向做勻速直線運動，電子在磁場中做螺旋線運動，在水平方向做的是勻速直線運動，電子在水平方向的速度保持不變，電子進入偏轉電場時的速度為v，
則電子經過電容器和磁場區(qū)域的時間之比：$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}$=$\frac{\frac{\frac{L}{4}}{v}}{\frac{L}{v}}$=$\frac{1}{4}$；
（2）電子在加速電場中做加速運動，由動能定理得：eU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$，
電子在勻強磁場中做螺旋線運動，在垂直與磁場方向上做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{eB}$，
熒光屏上呈現(xiàn)一條直線亮斑，則電子在磁場中的運動時間是電子做圓周運動的整數倍，
即：t=$\frac{L}{v}$=nT  n=1、2、3…
解得：B=$\frac{2nπ}{L}$$\sqrt{\frac{2mU}{e}}$  （n=1、2、3、…）；
（3）電子在兩極板間運動時間很短，可以認為電子在兩極板運動時極板間的電場強度不變，
電子在偏轉電場中做類平拋運動，運動時間：t₁=$\frac{\frac{L}{4}}{v}$=$\frac{L}{4}$$\sqrt{\frac{m}{2eU}}$，
在偏轉電場中的最大偏移量：y₁=$\frac{1}{2}$a_mt₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{e{U}_{0}}{md}$t₁²=$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{64Ud}$，
電子離開偏轉電場后在無場區(qū)域做勻速直線運動，在豎直方向的最大偏移量：
y₂=v_yt′=a_mt₁t′=$\frac{e{U}_{0}}{md}$×$\frac{\frac{L}{4}}{v}$×$\frac{L}{v}$=$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{8Ud}$，
電子在磁場中做螺旋線運動，在豎直方向的位移為零，
則光屏上所呈現(xiàn)直線亮斑的長度：Y=2（y₁+y₂）=$\frac{9{U}_{0}{L}^{2}}{32Ud}$；
答：（1）電子經過電容器和磁場區(qū)域的時間之比為1：4；
（2）若熒光屏上呈現(xiàn)一條直線亮斑，磁感應強度B的大小應滿足的條件是B=$\frac{2nπ}{L}$$\sqrt{\frac{2mU}{e}}$  （n=1、2、3、…）；
（3）在（2）中熒光屏上所呈現(xiàn)直線亮斑的長度是$\frac{9{U}_{0}{L}^{2}}{32Ud}$．

點評 本題考查了電子在電場與磁場中的運動，電子的運動過程分四個階段，運動過程很復雜，分析清楚電子的運動過程是正確解題的關鍵，分析清楚電子運動過程后，應用動能定理、運動學公式、電子在磁場中做圓周運動的周期公式可以解題．