Question

【題目】如圖所示為某種彈射裝置的示意圖，該裝置由三部分組成，傳送帶左邊是足夠長(zhǎng)的光滑水平面，一輕質(zhì)彈簧左端固定，右端連接著質(zhì)量M=6.0kg的物塊A。裝置的中間是水平傳送帶，它與左右兩邊的臺(tái)面等高，并能平滑對(duì)接。傳送帶的皮帶輪逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，使傳送帶上表面以u=2.0m/s勻速運(yùn)動(dòng)。傳送帶的右邊是一半徑R=1.25m位于豎直平面內(nèi)的光滑1/4圓弧軌道。質(zhì)量m=2.0kg的物塊B從1/4圓弧的最高處由靜止釋放。已知物塊B與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，傳送帶兩軸之間的距離l=4.5m。設(shè)物塊A、B之間發(fā)生的是正對(duì)彈性碰撞，第一次碰撞前，物塊A靜止。取g=10m/s2。求：

（1）物塊B滑到1/4圓弧的最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力；

（2）物塊B與物塊A第一次碰撞后彈簧的最大彈性勢(shì)能；

（3）如果物塊A、B每次碰撞后，物塊A再回到平衡位置時(shí)彈簧都會(huì)被立即鎖定，而當(dāng)它們?cè)俅闻鲎睬版i定被解除，求物塊B經(jīng)第一次與物塊A碰撞后在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間。

Answer 1

【答案】（1）F1=60N，方向豎直向下（2）12J（3）8s

【解析】（1）設(shè)物塊B沿光滑曲面下滑到水平位置時(shí)的速度大小為v0.由機(jī)械能守恒知

mgR＝mv02得=5 m/s

設(shè)物塊B滑到1/4圓弧的最低點(diǎn)C時(shí)受到的支持力大小為F，

由牛頓第二定律得：

解得：F=60N

由牛頓第三定律得：物塊B滑到1/4圓弧的最低點(diǎn)C時(shí)受到的支持力大小為F1=60N，

方向豎直向下。

（2）設(shè)物塊B在傳送帶上滑動(dòng)過(guò)程中因受摩擦力所產(chǎn)生的加速度大小為a，則

μmg＝ma

設(shè)物塊B通過(guò)傳送帶后運(yùn)動(dòng)速度大小為v，有v2-v02=-2al

聯(lián)立解得v＝4 m/s

由于v>u＝2 m/s，所以v＝4m/s即為物塊B與物塊A第一次碰撞前的速度大小。

設(shè)物塊A、B第一次碰撞后的速度分別為v2、v1，取向左為正方向，

由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得

mv＝mv1＋Mv2

mv2＝mv12＋Mv22 （（動(dòng)量守恒、能量守恒）

解得v1＝=-2m/s，v2=2m/s

彈簧具有的最大彈性勢(shì)能等于物塊M的初動(dòng)能

EP=Mv22=12J

（3）碰撞后物塊B沿水平臺(tái)面向右勻速運(yùn)動(dòng)。

設(shè)物塊B在傳送帶上向右運(yùn)動(dòng)的最大位移為l′，

由動(dòng)能定理得：－μmgl′=0－mv12

得l′＝2m<4.5m

所以物塊B不能通過(guò)傳送帶運(yùn)動(dòng)到右邊的曲面上．當(dāng)物塊B在傳送帶上向右運(yùn)動(dòng)的速度為零后，將會(huì)沿傳送帶向左加速運(yùn)動(dòng)．可以判斷，物塊B運(yùn)動(dòng)到左邊臺(tái)面時(shí)的速度大小為

v1′＝2m/s，繼而與物塊A發(fā)生第二次碰撞．設(shè)第1次碰撞到第2次碰撞之間，物塊B在傳送帶運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1。

由動(dòng)量定理得：μmgt1＝2mv1′

解得

設(shè)物塊A、B第一次碰撞后的速度分別為v4、v3，取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得

mv1′＝mv3＋Mv4

mv1′2＝mv32＋Mv42

解得v3＝=-1m/s

當(dāng)物塊B在傳送帶上向右運(yùn)動(dòng)的速度為零后，將會(huì)沿傳送帶向左加速運(yùn)動(dòng)．可以判斷，物塊B運(yùn)動(dòng)到左邊臺(tái)面時(shí)的速度大小為v3′＝1m/s，繼而與物塊發(fā)生第2次碰撞．則第2次碰撞到第3次碰撞之間，物塊B在傳送帶運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2。

由動(dòng)量定理得：μmgt2＝2m v3

解得

同上計(jì)算可知

物塊B與物塊A第三次碰撞、第四次碰撞……第n次碰撞后物塊B在傳送帶運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tn=s, 構(gòu)成無(wú)窮等比數(shù)列，公比q=

由無(wú)窮等比數(shù)列求和公式可知，當(dāng)n→∞時(shí)，有

物塊B經(jīng)第一次與物塊A碰撞后在傳送帶運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

t總==8s