Question

如圖所示，在以O(shè)為圓心，半徑為R=10cm的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個(gè)水平方向的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.1T，方向垂直紙面向外。豎直平行放置的兩金屬板A、K相距為d=20mm，連在如圖所示的電路中，電源電動(dòng)勢E=91V，內(nèi)阻r=1Ω定值電阻R­₁=10Ω，滑動(dòng)變阻器R₂的最大阻值為80Ω，S₁、S₂為A、K板上的兩上小孔，且S₁、S₂跟O點(diǎn)在垂直極板的同一直線上，OS₂=2R，另有一水平放置的足夠長的熒光屏D，O點(diǎn)跟熒光屏D之間的距離為H=2R。比荷為2×10⁵C/kg的正離子流由S₁進(jìn)入電場后，通過S₂向磁場中心射去，通過磁場后落到熒光屏D上。離子進(jìn)入電場的初速度、重力、離子之間的作用力均可忽略不計(jì)。問：  

（1）請(qǐng)分段描述正離子自S₁到熒光屏D的運(yùn)動(dòng)情況。

（2）如果正離子垂直打在熒光屏上，電壓表的示數(shù)多大？

（3）調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器滑片P的位置，正離子到達(dá)熒光屏的最大范圍多大？

Answer 1

解：（1）正離子在兩金屬板間做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，離開電場后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，離開磁場后，離子又做勻速直線運(yùn)動(dòng)，直到打在熒光屏上。

   （2）設(shè)離子由電場射出后進(jìn)入磁場時(shí)的速度為v。因離子是沿圓心O的方向射入磁場，由對(duì)稱性可知，離子射出磁場時(shí)的速度方向的反向延長線也必過圓心O。離開磁場后，離子垂直打在熒光屏上（圖中的O′點(diǎn)），則離子在磁場中速度方向偏轉(zhuǎn)了90°，離子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的徑跡如圖答1所示。

由幾何知識(shí)可知，離子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓半徑cm              ①

設(shè)離子的電荷量為q、質(zhì)量為m，進(jìn)入磁場時(shí)的速度為v有

由，得         ②                                                                    

設(shè)兩金屬板間的電壓為U，離子在電場中加速，由動(dòng)能定理有：

                       ③

而                ④

由②③兩式可得          ⑤

代入有關(guān)數(shù)值可得U = 30V，也就是電壓表示數(shù)為30V。

   （3）因兩金屬板間的電壓越小，離子經(jīng)電場后獲得的速度也越小，離子在磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越小，射出電場時(shí)的偏轉(zhuǎn)角越大，也就越可能射向熒光屏的左側(cè)。

由閉合電路歐姆定律有，1A

當(dāng)滑動(dòng)片P處于最右端時(shí)，兩金屬板間電壓的最大，為= 90V；

當(dāng)滑動(dòng)片P處于最左端時(shí)，兩金屬板間電壓最小，為= 10V；

兩板間電壓為10V時(shí)，離子射在熒光屏上的位置為所求范圍的最左端點(diǎn)，

由②③可解得離子射出電場后的速度大小為v₁ = 2×10³m/s，離子在磁場中做圓運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁ = 0.1m，或直接根據(jù)⑤式求得r₁ = 0.1m，此時(shí)粒子進(jìn)入磁場后的徑跡如圖答2所示，

O₁為徑跡圓的圓心，A點(diǎn)為離子能射到熒光屏的最左端點(diǎn)。由幾何知識(shí)可得：

，所以（1分）

所以

cm = 20cm   （1分）

而兩板間電壓為V時(shí)，離子射在熒光屏上的位置為所求范圍的最右端點(diǎn)，

此時(shí)粒子進(jìn)入磁場后的徑跡如圖答3所示，

同理由②③可解得離子射出電場后的速度大小為v₂ = 6×10³m/s，

離子在磁場中做圓運(yùn)動(dòng)的半徑為r₂ = 0.3m，或直接由⑤式求得r₂ = 0.3m，

由幾何知識(shí)可得

即β= 120°                                                                                                          

所以cm = 20cm

離子到達(dá)熒光屏上的范圍為以O′為中點(diǎn)的左右兩側(cè)20cm。