Question

2．X軸下方有兩個(gè)關(guān)于直線x=-0.5a對(duì)稱的沿X軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)（大小相等，方向相反）．如圖甲所示．一質(zhì)量為m，帶電量為-q的粒子（不計(jì)重力）．以初速度V沿Y軸正方向從P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，后從原點(diǎn)O以與過P點(diǎn)時(shí)相同的速度進(jìn)入磁場(chǎng)．粒子過O點(diǎn)的同時(shí)在MN和X軸之間加上按圖乙所示的規(guī)律發(fā)生周期性變化的磁場(chǎng)，規(guī)定垂直紙面向里為正方向．正向磁場(chǎng)與反向磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，且持續(xù)的時(shí)間相同．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后粒子到達(dá)Q點(diǎn)，并且速度也與過P點(diǎn)時(shí)速度相同．已知P、O、Q在一條直線上與水平方向夾角為θ，且P、Q兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為-a、a．試計(jì)算：

（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）粒子從P到Q的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知，帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，且時(shí)間相等，水平位移為a，豎直方向位移為atanθ，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式即可求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間和電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）帶電粒子在第一象限的磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系求解即可；
（3）分別求出粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，兩段時(shí)間之和即為總時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子在第三象限的運(yùn)動(dòng)為兩個(gè)階段的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，且時(shí)間相等，設(shè)為t，
對(duì)該運(yùn)動(dòng)分析得：
Y方向：atanθ=2Vt，
X方向：$\frac{1}{2}a=\frac{qE}{2m}{t}^{2}$，
解得：$E=\frac{4m{V}^{2}}{aq（tan{θ）}^{2}}$，t=$\frac{atanθ}{2V}$；

（2）帶電粒子在第一象限的磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為R，如圖所示（只畫出一個(gè)周期的情況）：

由幾何關(guān)系可知：
$\frac{a}{cosθ}=4nRcosθ$，（n=1，2，3…）
$BqV=m\frac{{V}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{4nmV（cosθ）^{2}}{qa}$，（n=1，2，3…）
（3）帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{電}=2t=\frac{atanθ}{V}$，
研究帶電粒子在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t_磁，設(shè)單元圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為α，由幾何關(guān)系可知，α=π-2θ，
則${t}_{磁}=2n\frac{（π-2θ）R}{V}=\frac{（π-2θ）a}{2V（cosθ）^{2}}$
所以粒子從P到Q的總時(shí)間${t}_{總}={t}_{電}+{t}_{磁}=\frac{atanθ}{V}+\frac{（π-2θ）a}{2V{（cosθ）}^{2}}$
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{4m{V}^{2}}{aq{（tanθ）}^{2}}$；
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{4nmV（cosθ）^{2}}{qa}$，（n=1，2，3…）；
（3）粒子從P到Q的總時(shí)間為$\frac{atanθ}{V}+\frac{（π-2θ）a}{2V{（cosθ）}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)、在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、牛頓第二定律即可正確解題．