Question

17．如圖所示，在傾角為θ=30°的光滑斜面內固定一光滑鐵皮制作的$\frac{1}{4}$圓弧軌道AB，鐵皮面垂直斜面放置，圓弧的圓心為O，半徑為R，半徑OA和OB分別垂直于斜面的側邊和底邊，質量為m的小球從圓弧軌道上無初速度釋放：

（1）若小球由A點釋放，求小球滑到軌道底端B點時的速度大小以及此時小球對軌道的壓力．
（2）若小球從軌道上的某處釋放，打在斜面內軌道右側垂直斜面底邊放置的木板上，當木板與半徑OB的距離為R時，小球打在P₁點，木板與半徑OB的距離為2R時，小球打在P₂點，且木板上兩落點P₁P₂的距離為3R，求小球釋放點距離軌道底端B的高度（設斜面足夠大，木板足夠長）．

Answer 1

分析 （1）小球由A到B過程機械桶守恒，根據機械能守恒定律可求得B點的速度，再根據小球在B點時的受力分析，由向心力公式可求得壓力；
（2）小球離開圓軌道后，由牛頓第二定律可求得加速度，根據類平拋運動的規(guī)律進行分析，由題意中給出的高度關系列式，聯(lián)立即可求得高度．

解答 解：（1）小球由A到B時，機械能守恒：
mgRsinθ=$\frac{1}{2}$mv²  
得：v=$\sqrt{2gRsinθ}$=$\sqrt{gR}$
小球在B點時，對小球受力分析：
N-mgsinθ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：N=$\frac{3}{2}$mg
由牛頓第三定律，小球對軌道的壓力為N'=$\frac{3}{2}mg$
（2）設小球到達B點時的速度為v₀，小球離開圓弧軌道后，受力分析：
mgsinθ=ma
a=gsinθ
小球離開軌道時，速度v₀與加速度a垂直，做類平拋運動：
落點為P₁點時：
水平方向：R=v₀t₁
豎直方向上有：y₁=$\frac{1}{2}$at₁²
落點為P₂點時：
水平方向：2R=v₀t₂
豎直方向上：y₂=$\frac{1}{2}$at₂²
由題意可知：y₂-y₁=3R
聯(lián)立以上各式：v₀=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$
設小球釋放點距離軌道底端B的高度為h，由機械能守恒：
mgh=$\frac{1}{2}$mv₀²
h=$\frac{R}{8}$
答：（1）若小球由A點釋放，小球滑到軌道底端B點時的速度大小$\sqrt{gR}$；此時小球對軌道的壓力為$\frac{3}{2}mg$
（2）小球釋放點距離軌道底端B的高度為$\frac{R}{8}$

點評 本題綜合考查運動的合成與分解，牛頓第二定律以及機械能守恒定律等內容，要求能正確分析物理過程，注意本題中物體做的是類平拋運動，根據運動的合成和分解規(guī)律即可正確求解．