Question

_{如圖，四棱錐中， ,，側(cè)面SAB為等邊三角形，.}

_{(1)證明：平面SAB；}

_{(2)求AB與平面SBC所成角的余弦值.}

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解法一：(Ⅰ)取AB中點，連結(jié)DE，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2，連結(jié)SE，則， .

又SD=1,故,所以為直角. …………3分

由,,,

得平面SDE,所以.

SD與兩條相交直線AB、SE都垂直.

所以平面SAB.     ………………6分

另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面SAB  ……………6分

(Ⅱ)由平面知，平面平面.

作,垂足為,則平面ABCD,.

作,垂足為,則.

連結(jié)SG.則.

又,

故平面,平面平面SFG            .……9分

作,H為垂足,則平面SBC.

,即到平面SBC的距離為.

由于,所以平面,到平面的距離也為.

設AB與平面SBC所成的角為,則,                 ……12分

解法二：以C為原點,射線CD為軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.

設,則、.

又設,則.

(Ⅰ) ，,

由得,

故.由得,

又由得,。

即,故.       ………………3分

故, ，， ，

，，故,又,

所以平面SAB.                      ………………6分

(Ⅱ)設平面的法向量,

則，.

又,

故                    ………………9分

取得,又

設AB與平面SBC所成的角為,則,            ……12分