Question

6．如圖所示，用一根長(zhǎng)l=0.9m的不可伸長(zhǎng)的絕緣細(xì)線，一端栓一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg、帶電量q=-10^-4C的小球，另一端固定在O點(diǎn)．現(xiàn)在最低點(diǎn)A給小球一個(gè)沿水平方向、大小為6m/s的速度v，若要使小球能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，還需在豎直方向上加一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，（g=10m/s²）
（1）試問：其電場(chǎng)方向如何？
（2）求出電場(chǎng)強(qiáng)度大小的范圍．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)沒有電場(chǎng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律結(jié)合，求出小球能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)最低點(diǎn)最小的速度，與v=6m/s比較，判斷出電場(chǎng)力的方向，從而確定電場(chǎng)力的方向．
（2）分重力大于電場(chǎng)力和重力小于電場(chǎng)力兩種情況討論，由臨界速度和動(dòng)能定理結(jié)合求解．

解答 解：（1）假設(shè)沒有電場(chǎng)，小球能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)在最高點(diǎn)的最小速度應(yīng)滿足：
mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{l}$
從A到B，由機(jī)械能守恒得：2mgl+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：v_A=$\sqrt{5gl}$=$\sqrt{5×10×0.9}$=$\sqrt{45}$m/s
則v=6m/s＜v_A，所以要使小球能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力方向必須豎直向上，則電場(chǎng)強(qiáng)度方向應(yīng)豎直向下．
（2）若電場(chǎng)力大于重力，剛好通過A點(diǎn)時(shí)，有：qE₁-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
解得：E₁=$\frac{mg}{q}$+$\frac{m{v}^{2}}{lq}$=$\frac{0.1×10}{1{0}^{-4}}$+$\frac{0.1×{6}^{2}}{0.9×1{0}^{-4}}$=50000 V/m
若電場(chǎng)力小于重力，剛好通過B點(diǎn)時(shí)，有：mg-qE₂=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{l}$
從A到B，由動(dòng)能定理有：qE₂•2l-2mgl=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立解得：E₂=2000V/m
故電場(chǎng)強(qiáng)度大小的范圍為2000V/m≤E≤50000V/m
答：（1）電場(chǎng)方向?yàn)樨Q直向下．         
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度大小的范圍為2000V/m≤E≤50000V/m．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理和牛頓第二定律的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵要找到物理的最高點(diǎn)，把握最高點(diǎn)的臨界條件：繩子拉力為零，由電場(chǎng)力與重力的合力提供向心力．