Question

如圖所示，是建筑工地上常用的一種“深坑打夯機(jī)”．工作時(shí)，電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)兩個(gè)緊壓夯桿的滾輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，可將夯桿從深為h的坑中提上來(lái)．當(dāng)兩個(gè)滾輪與夯桿分開(kāi)時(shí)，夯桿被釋放，最后夯桿在自身重力作用下落回深坑，夯實(shí)坑底．之后，兩個(gè)滾輪再次壓緊，夯桿再次被提上來(lái)，如此周而復(fù)始工作．已知兩個(gè)滾輪邊緣的線速度恒為5m/s，每個(gè)滾輪對(duì)夯桿的正壓力F_N=2×10⁴N，滾輪與夯桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，夯桿的質(zhì)量m=1×10³kg，坑深h=4.8m．假定在打夯過(guò)程中坑的深度變化不大，且夯桿底端升到坑口時(shí)，速度恰好為零（不計(jì)夯桿在坑底停留的時(shí)間）．求：
（1）夯桿上升過(guò)程中被滾輪釋放時(shí)，夯桿底端離坑底的高度；
（2）打夯周期；
（3）在一個(gè)打夯周期內(nèi)夯桿獲得的機(jī)械能．

Answer 1

分析：（1）據(jù)題意，夯桿先加速上升，最后減速上升，先根據(jù)牛頓第二定律求得加速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解；
（2）先計(jì)算加速和減速上升的時(shí)間，然后計(jì)算自由落體的時(shí)間，總時(shí)間即為打夯周期；
（3）加速過(guò)程，滾輪對(duì)夯桿做正功，機(jī)械能增加，減速過(guò)程和自由落體運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有重力做功，機(jī)械能守恒，故獲得的機(jī)械能等于最高點(diǎn)增加的機(jī)械能．

解答：解：（1）夯桿開(kāi)始階段做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為：
a=

2μFN-mg

m

=

2×0.3×2×104-103×10

103

=2m/s²            
當(dāng)加速到速度v時(shí)，夯桿以v向上做拋體運(yùn)動(dòng)，至坑口速度為零
加速上升位移：h1=

v2

2a

減速上升位移：h2=

v2

2g

h=h₁+h₂     
解得：v=4m/s，h₁=4m
故滾輪釋放夯桿時(shí)，夯桿底端離坑底的高度為4m．
（2）夯桿加速上升的時(shí)間t1=

v

a

=2s
夯桿減速上升的時(shí)間t2=

v

g

=0.4s
夯桿自由落體的時(shí)間t3=

2h g

=

0.96

s
總時(shí)間為：T=t1+t2+t3=2.4+

0.96

s=3.4s
故打夯周期為3.4s．
（3）加速過(guò)程，滾輪對(duì)夯桿做正功，機(jī)械能增加，減速過(guò)程和自由落體運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有重力做功，機(jī)械能守恒；
比較最高點(diǎn)和最低點(diǎn)得到：W=mgh=4.8×10⁴J
故桿獲得的機(jī)械能為4.8×10⁴J．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是分析求出夯桿的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和功能關(guān)系列式求解．