Question

【題目】兩根長為L的絕緣輕桿組成直角支架，電量分別為+q、-q的兩個(gè)帶電小球A、B固定在支架上，整個(gè)裝置處在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度為E。在電場(chǎng)力之外的力作用下，整體在光滑水平面內(nèi)繞豎直軸O以角速度ω順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，圖為其俯視圖。不計(jì)兩球之間因相互吸引而具有的電勢(shì)能。試求：

（1）在支架轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，外力矩大小的變化范圍。

（2）若從A球位于C點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，一段時(shí)間內(nèi)（小于一個(gè)周期），電場(chǎng)力之外的力做功W等于B球電勢(shì)能改變量，求W的最大值。

（3）在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中什么位置兩球的總電勢(shì)能變化最快？并求出此變化率。

Answer 1

【答案】（1）0~qEL（2）W=－2qEL（3）OA桿與電場(chǎng)線平行時(shí)，電勢(shì)能變化最快，變化率qEωL

【解析】

(1)設(shè)OA與電場(chǎng)線夾角，電場(chǎng)力矩與外力矩平衡，外力矩：

，

故外力矩大小的變化范圍為0~qEL

(2)支架勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可得

W+W電場(chǎng)力=0，

根據(jù)題意

W=ΔEpB，

得

W電場(chǎng)力=-ΔEpB，

電場(chǎng)力做功僅改變了B球電勢(shì)能，所以A球電勢(shì)能變化為零，則A球在這段時(shí)間初末應(yīng)在同一個(gè)等勢(shì)面上，根據(jù)B球前后位置關(guān)系，得：

W=-2qEL；

(3)因?yàn)殡妶?chǎng)力做功等于電勢(shì)能改變量，所以電勢(shì)能變化最快的位置應(yīng)是電場(chǎng)力功率最大的位置。設(shè)OA與電場(chǎng)線夾角，由公式有

電場(chǎng)力功率：

，

顯然在一周內(nèi)θ=0或π時(shí)有最值，即OA桿與電場(chǎng)線平行時(shí)，電勢(shì)能變化最快。為變化率qEωL

可能存在的另一類解法：

以OA與電場(chǎng)線平行，A在右端位置為t=0，以任意位置為零電勢(shì)，均能得到整體電勢(shì)能

Ep=qELsin(ωt)，

求導(dǎo)得電勢(shì)能變化率=qEωLcos(ωt)，顯然一周內(nèi)ωt =0或π時(shí)有最值，即OA桿與電場(chǎng)線平行時(shí)，電勢(shì)能變化最快。變化率qEωL。